??(i?j)?i?j?1???2?8?sinsin?sinsinsinΩt?h???m?1?2222???????(i?j)?i?j?1?? ????8?sin2sin?sinsincosΩ?tm?1?h??2222????????4sin2?sin2sin(i?j)???2??由于假设?和?都是小量，对上式的x和y轴分量作近似，有
?(i?j)(??)3i?j?1???sinΩt?h???m?1?22?????(i?j)(??)3i?j?1?? （2.6-22） ?Δθm(i)?Δθm(j)???cosΩ?tm?1?h??22??????22??4sin?sinsin(i?j)???2????上式中x和y轴分量是随时间tm?1呈正弦波动的，而z轴分量是与子样数间隔(i?j)相关的小量常值。可见，在圆锥运动条件下，不同子样间的叉乘积在z轴（锥轴）方向可提供一定的角增量补偿作用，所以一般使用时间段[tm?1,tm]内所有子样之间的叉乘积之和来对式（2.6-19）作估计和补偿，记为 j?1*?(T)?N??kΔθ(i)?Δθ(j) （2.6-23）
??j?2i?1ijmm*其中kij为待定系数，共有N(N?1)/2个系数，常称为圆锥误差补差系数。
注意到，式（2.6-22）中z轴分量与绝对时间tm?1无关，只与子样数间隔(i?j)有关，比如有
Δθm(1)?Δθm(2)?Δθm(2)?Δθm(3)??Δθm(N?2)?Δθm(N)、
?Δθm(N?1)?Δθm(N)、Δθm(1)?Δθm(3)?Δθm(2)?Δθm(4)?
、Δθm(1)?Δθm(N?1)?Δθm(2)?Δθm(N)等等，因而式（2.6-23）中所有子
样叉乘积的项数可由N(N?1)/2项降低为N?1项，即式（2.6-23）可简化为
?(T)?N?1kΔθ(i)?Δθ(N) （2.6-24） ???i?1N?imm且有kN?i??i**kk，系数与之间的关系参见图2.6-1。 kN?ij(j?N?i)ijj?1ji
12*123kk?*13*234kkk?*14*24*34Nkkk?*1N*2N*3NkN?1?k1*N
**kN?2?k1(N?1)?k2N123N?1?k?
***k2?k13?k24?k35?***k1?k12?k23?k34?k(*N?2)Nk(*N?1)Nk(*N?1)N*图2.6-1 系数ki与kij之间的关系
根据式（2.6-22）可知，以式（2.6-24）估计式（2.6-19），在x轴和y轴分量上是高阶的微幅振荡（(??)3量级），但这些误差是可忽略的，不会引起姿态累积漂移，因而后续主要考虑z轴分量的影响。
由??Ωh和T?Nh，可得ΩT?N?，将式（2.6-19）中的z轴分量用泰勒级数展开，得
????z(T)?2sin2(ΩT?sinΩT)?2sin2(N??sinN?)22?N3?3N5?5?2sin?N???N????2?3!5!?2???????? （2.6-25）
N5?5?4sin???2?2?3!2?5!2??N3?3??2??4sin(?1)i?1ci?2i?1??i?12?36
其中
N2i?1 （2.6-26） ci?2?(2i?1)!而将式（2.6-22）代入（2.6-24），得z轴分量估计值为
?(T)??4sin2????i?1kN?isin2zN?1?2sin(i?N)??4sin2??i?1kN?isin2?4sin2??j?1kjsin2N?1N?1?2sin(N?i)? （2.6-27）
?2sinj?利用三角函数的三重积化和差公式
1sinx?siny?sinz??sin(?x?y?z)?sin(x?y?z)?sin(x?y?z)?sin(x?y?z)? （2.6-28）
4则在式（2.6-27）的求和项中有
??1sinsinsinj???sinj??sinj??sin(1?j)??sin(1?j)??224 （2.6-29）
1??2sinj??sin(j?1)??sin(j?1)??4将式（2.6-29）代入式（2.6-27），并进行泰勒级数展开，可得
?(T)?sin2?N?1k?2sinj??sin(1?j)??sin(1?j)????z?j?1j2i?1?(j?1)2i?1?(j?1)2i?12i?12i?12j?sin??j?1kj?i?1(?1)?(2i?1)!注意到，当i?1时有2j2i?1?(j?1)2i?1?(j?1)2i?1?0，因而上式可改为
N?1? （2.6-30）
?(T)?sin2???z22j2i?1?(j?1)2i?1?(j?1)2i?12i?1??j?1kj?i?1(?1)(2i?1)!N?1?iN?1?i?1?sin??j?1kj?i?1(?1)?N?1(j?1)2i?1?(j?1)2i?1?2j2i?12i?1 （2.6-31）
?(2i?1)!?sin2??i?1(?1)i?1?j?1Aijkj?2i?1其中
(j?1)2i?1?(j?1)2i?1?2j2i?1 （2.6-32） Aij?(2i?1)!由于半锥角?是小量，在式（2.6-25）中可进行近似4sin2（2.6-31），令两式中关于?,?,其中，A??Aij?、k??kj?35?,?2N?12项的对应系数相等，则可建立矩阵方程
?sin2???2，再对比式（2.6-25）和
Ak?c （2.6-33）
(N?1)?(N?1)(N?1)?1和c??ci?(N?1)?1，通过求解方程（2.6-33）便可确定出待定误差补
偿系数kj。在式（2.6-25）中关于?未补偿的最低次幂项为?2N?1?(ΩT/N)2N?1，可见，在圆锥运动条件下算法的误差量级为O(T2N?1)。若以漂移角速率（rad/s）表示圆锥补偿的剩余误差，定义如下
1?12??N????(T)???(T)??(ANk?2N?1?cN?2N?1)zz??TT12?2(ΩT)2N?1 (N?1)2N?1 （2.6-34） ?(ANk?cN)?(Ωh)?(ANk?cN)2N?1TNT?2(ΩT)2N?1??NT2N?1其中，AN??，称为误差漂移系数。 ??(Ak?c)/N?AAANNNN1N2N(N?1)??表2.6-1给出了N?1~10子样算法的误差补偿系数以及对应的误差漂移系数，由表中误差系数可知，只要?(ΩT)
22N?1/T?1°/h则二子样算法能够满足绝大多数惯性级导航系统的算法精度要求。例如，当
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2525、N?2时，有?(ΩT)/T= 0.0628°/h，此时?2?(ΩT)/T的影响可忽略Ω=10Hz、T=0.01、?=1°
2323不计；而当N?1时，有?(ΩT)/T= 6.28°/h，这时?1?(ΩT)/T的影响不可忽略，或者说，单子样
算法不能达到惯性级系统的要求。
N
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
k1
- 0.667 1.350 2.038 2.728 3.419 4.111 4.083 5.495 6.178
表2.6-1 1~10子样的圆锥误差补偿系数及误差漂移系数
k3 k5 k6 k7 k8 k9 k2 k4
0.450 0.876 1.290 1.696 2.097 2.495 2.891 3.285
0.514 1.042 1.579 2.124 2.676 3.231 3.790
0.496 0.987 1.471 1.951 2.426 2.898
0.501 1.004 1.510 2.018 2.529
0.500 0.999 0.500 1.497 1.000 0.500 1.993 1.501 1.000 0.500
?N
8.333E-02 1.042E-03 4.899E-06 1.211E-08 1.847E-11 1.912E-14 1.432E-17 8.119E-21 3.606E-24 1.289E-27
C G Park（1996年）经过仔细推导，给出了以分数形式表示的圆锥误差补偿系数精确解，如表2.6-2所列。同时，Park还给出剩余误差系数的解析表达式如下
N! （2.6-35） ?N?2NN?1N?1N2?k?1(2k?1)N
1 2 3 4 5 6
表2.6-2 1~6子样的圆锥误差补偿系数及误差漂移系数的分数解
k3 k5 ?N k1 k2 k4 - 2/3 27/20 214/105
9/20 92/105
54/105
1/12 1/960 1/204120 1/82575360
1375/504 650/504 525/504 250/504 1/54140625000
15797/4620 7834/4620 7296/4620 4558/4620 2315/4620 1/52295018840064
在表2.6-1和表2.6-2中，误差补偿系数ki(i?1,2,子样算法为例，等效旋转矢量计算公式为
?(T)?(T)?Δθ???m,N?1)表示间隔为i的两子样叉乘的系数，以四
??Δθm(1)?Δθm(2)?Δθm(3)?Δθm(4)???k3Δθm(1)?k2Δθm(2)?k1Δθm(3)??Δθm(4)92214?54???Δθm(1)?Δθm(2)?Δθm(3)?Δθm(4)???Δθm(1)?Δθm(2)?Δθm(3)??Δθm(4)105105?105?（2.6-36）
值得注意的是，在前述圆锥误差补偿系数的推导过程中进行了如下几点近似：①式（2.6-15）在假设?和ΩT为小量时对理论等效旋转矢量进行近似；②式（2.6-22）忽略了非圆锥轴振荡对圆锥误差补偿的影响；③在式（2.6-25）中再次假设?为小量。因此，当圆锥运动的锥角比较大时，表2.6-1中的误差漂移系数可能变得不准确。在实际系统中，陀螺仪的测量分辨率或噪声、幅相特性不理想及数据间不同步都会影响到理论上的圆锥误差补偿效果，此外，实际载体的剧烈角运动还会激励出陀螺仪的动态误差，动态误差可能远远大于算法引起的误差，致使多子样圆锥误差补偿往往达不到预期的效果，所以实际应用时子样数并非越多越好，建议最多选用3～4子样就足够了。
对比本节圆锥误差补偿多子样算法与2.5节基于泰勒级数展开的多子样算法，理论上，前者比后者更适合应用于圆锥运动环境，而后者比前者更适合应用于多项式角运动环境。对于实际系统，在角运动过程中，通常认为多项式角运动只会短暂出现，而更容易激发的是较长时间的周期性振动，它可近似为
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圆锥运动，因此实际中一般优先考虑采用基于圆锥误差补偿的多子样算法。相对于2.5节而言，本节在圆锥运动假设条件下获得的圆锥误差补偿算法也常常称为多子样优化算法。
最后指出的是，有些文献将圆锥运动的角速度定义为
?aΩsinΩt?? （2.6-37） ω(t)???bΩcosΩt???0??这相当于在式（2.6-1）中取c?0，此时就不能够得到相应的等效旋转矢量和四元数的简单解析表达式了。
与式（2.6-37）对应的角增量为
??a(cosΩt?cosΩtm?1)?? （2.6-38） Δθ(t,tm?1)??ω(?)d???b(sinΩt?sinΩt)m?1??tm?1??0??将式（2.6-37）和（2.6-38）代入不可交换误差式（2.5-18），可得
??a(cosΩ??cosΩtm?1)??aΩsinΩ??1tm1tm??bΩcosΩ??d? σ(tm,tm?1)??Δθ(?,tm?1)?ω(?)d????b(sinΩ??sinΩtm?1)?????2tm?12tm?1???00?????t??01?? ???0?d?2tm?1??abΩ?(cosΩ??cosΩtm?1)cosΩ??(sinΩ??sinΩtm?1)sinΩ????tm????00abtm?????0d???0????2tm?1???Ω?1?cosΩ(??tm?1)????ab/2??Ω(tm?tm?1)?sinΩ(tm?tm?1)??? （2.6-39）
0?????0????ab/2?(ΩT?sinΩT)??当角度幅值a?b??且为小量时，上式与式（2.6-19）的结果完全相同，后续圆锥误差补偿系数的求解方法和结果也与前文完全一致，无需赘述。
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第3章 地球形状与重力场基础?
第?章??地球形状与重力场基础 ......................................................................................... 40
3.1地球的形状描述 ........................................................................................................................ 40
3.2地球的正常重力场 ..................................................................................................................... 46 3.3地球重力场的球谐函数展开 ...................................................................................................... 50
3.3.1 球谐函数 .................................................................................................................................... 50 3.3.2 地球引力位函数......................................................................................................................... 58 3.3.3 重力位及重力计算..................................................................................................................... 63
3.1地球的形状描述
实际的地球表面是一个凹凸不平、形状十分复杂的物理面，难以准确量化描述。为了研究方便，假想海洋表面静止，并将其向陆地延伸，所得到的封闭曲面称为大地水准面，大地水准面包围的形体称为大地水准体。由于地球内部密度分布不均匀和表面形状起伏的影响，大地水准体也是一个不规则的几何体。实用中希望使用比较简单的数学方程来拟合地球几何形状，按精度从低到高有如下三种近似：①近似成圆球体，中心选择在地球质心上，半径约6371km，该描述比较粗略，适用于对精度要求不高的场合；②近似成旋转椭球体，地球自转轴（极轴）与一椭圆短半轴重合，椭圆的椭圆度约1/300（长短半轴相差约21km），椭圆绕其短半轴旋转构成旋转椭球体的表面，该描述中地球赤道是圆形的；③近似成三轴椭球体，其中赤道是椭圆的，赤道椭圆度约1/100000（长短半轴相差约60m）。三轴椭球体描述虽然比旋转椭球体更精确，但前者的相关计算比后者复杂许多，考虑到三轴椭球体的赤道椭圆度不大，可将其似成圆形的，因此旋转椭球体应用最为广泛。
下面先简要介绍一下地球旋转椭球上的一些基本概念。
参见图3.1-1，地球自转轴的南端点和北端点分别称为南极（S）和北极（N），包含南北极点的平面称为子午面，子午面与旋转椭球面的交线称为子午圈（或经圈）。通过英国格林尼治的经线称为本初子午线（或零度经线）。任一经线所在子午面与本初子午面之间的夹角，定义为经度（记为?），夹角方向与地球自转轴同方向，取值范围-180°～180°。包含旋转椭球中心且垂直于自转轴的平面称为赤道面，赤道面与旋转椭球面的交线称为赤道，平行于赤道面的平面与椭球面的交线称为纬圈。
NZeRpZezPπ?L2O?XeYeO?SLxReBXeQ
图3.1-1 旋转椭球基本概念 图3.1-2 子午圈椭圆 对于地球旋转椭球体而言，确定其三维形状参数的关键在于确定二维子午圈椭圆。 1 子午圈椭圆
S
参见图3.1-1，建立地心右手直角坐标系，常称为地心地固坐标系（Earth Center Earth Fixed，ECEF），
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