线性代数习题集
?a?b?ca2?b2?c2?2ac?b2（2）AB??a?b?c?3a?b?c?2ac?b2??a2?b2?c2?， a?b?c???b?aca2?b2?c2?b?ab?cb2?2ac?a2?2c???AB?BA??c?bc2ac?2ba2?b2?c2?ab?b?c?；
?3?c2?2a?c?bcb?ac??【6】计算下列矩阵乘积：
?1?11???1（1）20????31?2???11??ab?01?；?（2）（x，y，1）bc??????10???ded?e??f???x??y?。 ????1???20???（2）22答案：（1）32；ax?2bxy?cy?2dx?2ey?f。
????14???cos?【7】计算???sin?sin???01?，并利用所得结果求。 ???cos????10?sin???cosn????sinn?cos????nn4?cos?答案：提示：用数学归纳法可证???sin?sinn?????。当时，
cosn??2??cos?sin???01???sin?cos?????10?。 ?????01??cos2?故?????sin2??10???4sin2???10????
cos2??01???【8】已知A，B是n阶对称矩阵，证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。 【9】已知A是一个n阶对称矩阵，B是一个n阶反对称矩阵，证明
（1）A，B都是对称矩阵；（2）AB-BA是对称矩阵；（3）AB+BA是反对称矩阵。 【10】求矩阵X，已知：
22?211??230??123???????；
56（1）321?X??10?1?4??????????101???2?11?????3?12??（2）3??247??61020? ?X?????131??093?第11页 共35页
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?142??021???（2）
答案：（1）X?043；X??300? ??????0?22??【11】已知矩阵A，求A的逆矩阵A;
?1?02?1?ab???112?；
A?(1)A??,其中ad-bc=1；（2）????cd????1?1?1???1?0（3）A???0??03?57?12?3??； 012??001??321215???2?1?； 2?1?????1??2?d?b???1?1A?答案：（1）A?1??；（2）??2??ca??0????1?311?38??01?27??1? （3）A???001?2???1??000【12】在下列矩阵方程中求矩阵X： （1）X???12??35?； ?????34??59??12?3??1?30?????（2）22?4X?1027； ???????2?10???1078???3?2答案：（1）X???7??25???3?2?1???2??2?（2）X???16?11?13? ?；1???192????12?7??2??【13】证明若一个对称矩阵可逆，则它的矩阵也对称。
【14】假设方阵A满足矩阵方程A?2A?5E?0，证明A可逆，并求A。
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2?1线性代数习题集
答案：提示：由A2?2A?5E?0得A??（A-2E）??E。 【15】填空题
?1?5???2?13???（1）设矩阵A=051，则(A?3E)?1(A2?9E)=_________ ????123??（2）设A是3阶数量矩阵，且A=-27，则A=_________ （3）设A是4阶方阵，且A=-2，则A的伴随矩阵A的
*行列式A=_________
?1*
?1???3??5-13???1??（2）??； ?答案：（1）081；
????3????126??1????3???（3）-8 【16】选择题
（1）设A是n阶方阵，且满足等式A?A?2E?0，则A的逆矩阵是 （A） A-E； （B）E-A； （C）
211(A?E)； （D）(E?A)。 22（2）设A，B是n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 A、(AB)?1?11?1?1?1(AB)?AB；B、 ?1?1AB?1n?1C、(AB)?AB；D、(AB)?(?1)AB
（3）设A，B，C为n阶方阵，且ABC=E，则必成立的等式为 A、ACB=E;B、CBA=E;C、BAC=E;D、BCA=E
（4）设A，B为n阶对称矩阵，m为大于1的自然数，则必为对称矩阵的是 A、A；B、(AB)；C、AB;D、(A?B)。
（5）设A，B，A+B，A+B均为n阶可逆矩阵，则（A+B）等于
?1?1?1?1mm?1第13页 共35页
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A、A+B；B、A+B；C、B(A?B)?1A；D、(A?B)?1。 （1）C；（2）B；（3）D；（4）A；（5）C 【17】求下列矩阵的秩
?1?1?25?1234??75???（1）1?245；??（3）?75???11012???25319494321743?53132?? 54134??2048??47?6735201155???。
9823?29486（4）26????16?4281128452??答案：（1）r（A）=2；（2）r（A）=2；（3）r（A）=3；（4）r（A）=2； 【18】求下列矩阵的标准形
?1?1?2?2（1）??30??03?1?0答案：（1）??0??024600100?110??1???20?；（2）?0?11??0??01???00100?1000??1100?。
?0110?1011??0000?1000??0100?。
?0010?0001??00100000?10??0??0?；（2）?00??0??0???02【19】假设方阵A满足方程aA?bA?cE?0，其中a，b，c是常数，而且C≠0，试证A是满
秩方阵，并求出其逆矩阵。 【20】选择题
??123???（1）设矩阵A=?368，且r（A）=2，则t等于 ????2?4t??A、-6；B、6；C、8；D、t为任何实数。
（2）设A是3阶方阵，若A=0，下列等式必成立的是 A、A=0；B、r（A）=2；C、A=0；D、A?0 （3）设A是m×n矩阵，且m 第14页 共35页 32线性代数习题集 TTTA、AA?0；B、AA?0；C、AA0；D、ATA0。 答案：（1）D；（2）C；（3）B。 【21】求下列矩阵的逆矩阵： ?0?0（1）A???2??1001312002??100??2??3?0?200?；?。 （2）A???31?193?4?0????0??2314?23??1???5??212??325?；?1?（3）???110????2?1?0??3?00?5?1?00??5答案：（1）A?1????120?33?21??033?00320?0??。 4??3??B0?【22】假设B是n阶可逆矩阵，C是m阶可逆方阵。试证明分块矩阵A???是可逆方阵， 0C??并且用B?1,C?1表示分块矩阵A。 答案：提示：由拉普拉斯展开定理，得A、BC?0，故A是可逆矩阵。由逆矩阵定义， ?1?B?10?得A??。 ?1?0C?? 【23】已知三阶方阵A=（aij）与任意三阶方阵B之积可交换：AB=BA，证明A是数量矩阵。 【24】设4阶矩阵 ?0?100??2?00?10??0 ?C=?B=??000?1??0????0000??0 ?11200 T3120 T4?3?? 1??2? 且矩阵A满足等式A(E?CB)C?E?A。其中E为4阶单位矩阵，求矩阵A。 T于是A???(C?B?E)?? ?1第15页 共35页