线性代数习题集
C、A与B都相似于一个对角矩阵；D、对任意常数t，tE-A与tE-B相似。 【9】求下列矩阵的特征值与特征向量： （1）A???34? ??52?'答案：特征值?1?7，?2??2；属于特征值?1的特征向量?1??1,1?，属于特征值?2的特征
向量?2??4,-5?。
'?122???（2）A?212 ????221??答案：特征值?1?5，?2??3??1；属于特征值5的特征向量?1??1,1,1?，属于特征值-1
的特征向量?2??-1,1,0??3??-1,0,1?。
'''?56?3???（3）A??101 ????12?1??答案：特征值?1?2，?2?1?3，?3?1?3；属于?1的特征向量?1??2,-1,0?；属于?2的
特征向量?2?3,-2,2-3；属于?3特征向量?3?3,-1,2+3。 【10】求矩阵
'??'??'?200???A=12?1的特征值与特征向量。问A是否能与对角矩阵相似？如果相似将其化为相似对????101??角矩阵。
?0?11??10?1??100?????则P?1AP??020? ?1答案： A与对角矩阵相似。P??110时，P?11?1，
??????????002????1?11???21?1??【11】设?0是矩阵A的特征值，m是正整数，试证?0m是A的特征值。 答案：使用数学归纳法。
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线性代数习题集
【12】设?0是矩阵A的特征值，f?x?是x的一个多项式。证明f答案：略。
??0?是f?A?的特征值。
【13】假设?1,?2,?3是矩阵A分别属于特征值?1,?2,?3的特征向量，而?1,?2,?3互不相等， 证明?1??2?2??3?3??1?1??2??3 都不可能是矩阵A的特征向量。阿 答案：略
【14】如果矩阵A与B相似，C与D相似。证明分块矩阵?答案：略
【15】当i?j时，aii?ajj。证明矩阵
?A0??B0??与?0D?相似。 0C?????a11?0A?????0a12a220a1n?a2n??可以化为对角矩阵。 ??ann?答案：提示：该矩阵有n个两两不同的特征值，所以它可以相似于对角矩阵。 【16】若A是可逆矩阵，证明它的每个特征值?0都不为零，而且
1?0是A的一个特征值。若X
?1是A的属于?0的一个特征向量，则X也是A属于
?11?0的一个特征向量。
答案：提示：由于矩阵A的所有特征值之积等于A的行列式A，故可逆矩阵的所有特征值均不
?1为零。如果列向量?是A的属于特征值?的特征向量，那么A????，因为A可逆，用A左乘等式两端：AA??A?1?11????，即?=??A?1??。由于??0，故A?1???。所以
?1?是矩阵A的特征值，而且?也是A的属于特征值
?1?11?的特征向量。
【17】（99130）设n阶矩阵A的元素全为1，则A得n各特征值是 。
?001???A?x1y【18】（94508）4B 设??有三个线性无关的特征向量，求x和y应满足的条件.
?100??? 满足条件x?y?0.
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线性代数习题集
【19】（98309，98409） 4B 设向量??(a1,a2,?,an)T,??(b1,b2,?,bn)T都是非零向量，且满足条件?T??0.记n阶矩阵A???T.求： （1）A
（2）矩阵A的特征值和特征向量. 答案与提示： （1）A=0
（2）??0，即矩阵A的特征值全为零. A的属于特征值??0的全部特征向量为 c1a1?c2a2???cn?1an?122(c1,c2,?,cn?1是不全为零的任意常数)
?1c??a??b3?，其行列式detA??1，又A的【20】（99108，99309） 4B 设矩阵A??5?1?c0?a???伴随矩阵A有一个特征值?0，属于?0的一个特征向量为??(?1,?1,1),求a,b,c和?0的值.
a?2,b??3,c?2,?0?1 【21】（97409） 4B 设矩阵A和B相似，且
*T?1?11??200?????4?2?，B??020?， A??2??3?3a??00b?????（1） （2）
求a,b的值；
求可逆矩阵P，使PAP?B.
?1答案与提示： （1）a?5,b?6
?111???（2）P?(a1,a2,a3)???10?2?
?013????1?11???A?x4y【22】（00409）4B 设矩阵??，已知A有三个线性无关的特征向量，
??3?35?????2是A的二重特征值.试求可逆矩阵P，使得P?1AP为对角矩阵.
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线性代数习题集
答案与提示：
?111??? P???10?2?
?013???【23】（04321）4B 设n阶矩阵
?1b?b???b1?b?? A??. ???????bb?1???(1) (2)
求A的特征值和特征向量；
求可逆矩阵P，使得PAP为对角矩阵.
?1答案与提示：
（1）?1?1?(n?1)b基础解系为?1?(1,1,?,1)T
?2????n?1?b基础解系为?2?(1,?1,0,?,0)T,?,?n?(1,0,0,?,?1)T
（2）P?(?1,?2,?,?n)
【24】（05413） 4B 设A为3阶矩阵，a1,a2,a3是线性无关的3维列向量，且满足 Aa1?a1?a2?a3,Aa2?2a2?a3,Aa3?2a2?3a3 （1） （2） （3）
求矩阵B，使得
A(a1,a2,a3)?(a1,a2,a3)B；
求矩阵A的特征值；
求可逆矩阵P，使得PAP为对角矩阵.
?1答案与提示：
?100???（1）B??122?
?113???（2）?1??2?1,?3?4
（3）P?(?a1?a2,?2a1?a3,a2?a3)
【25】（97310） 4B 设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是?1?(?1,?1,1),a2?(1,?2,?1)， （1）
（2）
求A的属于特征值3的特征向量； 求矩阵A。
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TT线性代数习题集
答案与提示：
（1）A的属于特征值3的特征向量为?3?k(1,0,1)T
?13?25??1?（2）A=??2102?
6?213??5?【26】（04413）4B 设3解实对称矩阵A的秩为2，?1??2?6是A的二重特征值，若
?1?(1,1,0)T,?2?(2,1,1)T,a3?(?1,2,?3)T都是A的属于特征值6的特征向量
（1） 求A的另一特征值和对应的特征向量；
（2） 求矩阵A 答案与提示：
（1）A的另一特征值?3?0，属于特征值?3?0的全部特征向量为k??k(?1,1,1)
T2??42??4?2? （2）A=?2?2?24???【27】（06313，06413）4B 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量
?1?(?1,2,?1)T,?2?(0,?1,1)T是线性方程组Ax?0的两个解
（1） （2） （3）
求A的特征值与特征向量；
求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QAQ?A； 求A及(A?T36E)，其中E为3阶单位矩阵 2答案与提示：
（1）?1??2?0是A的二重特征值，a1,a2为A的属于特征值0的两个线性无关特征向量；?3?3是A的一个特征值，a3?(1,1,1)T为A的属于特征值3的特征向量 （2）?1?a?1?111?(?1,2,?1)T,?2?2?(?1,0,1)T,?3?3?(1,1,1)T ||?1||||?2||||a3||623T Q?(?1,?2,?3)为正交矩阵，且QAQ?A （3）(A?
3636E)=()E 22第30页 共35页