线性代数习题集
nT【25】（00403）设a??1,0,?1?，矩阵A???，n为正整数，则detaE?A=
T??【26】（04404）
?0?10???设A??100?，B=P?1AP，其中P为三阶可逆矩阵，则B2004?2A2? 。
??00?1??【27】（04404）设A?(aij)3X3是实正交矩阵，且a11=1，b=(1,0,0)T，则线性方程组Ax=b得解是 。
【28】（04104）
?210???设矩阵A??120?，矩阵B满足ABA*?2BA*?E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则B?
?001??? 。 【29】（00203）设
00?1?0??23A=?0?45??00?6? .
0??0??1?1=,E为4阶段单位矩阵，且B?(E?A)(E?A),则（E?B）0??7??【30】（94503）设A,B都是n阶非零矩阵，且AB=0,则A和B得秩（ ）
A.必须有一个等于零 B.都小于n C.一个小于n，一个等于n D.都等于n
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第三章
【1】
如果向量a1,a2,...,as线性无关，而?，as，线性相关，则?可以由a1，a2,...,as线性表出，而且表示式唯一。【2】
设a1,a2,...,an是n个n维的线性无关向量，an?1?k1a1?k2a2?...?knan,其 中k1,k2,...kn全不为零。证明：a1,a2,...,an，an?1中任意n个向量均线性无关。【3】（95508）设三阶矩阵A满足A?i?i?i(i?1,2,3)，其中列向量?1?(1,2,2)T,
?2?(2,?2,1)T,?3?(?2,?1,2)T.试求矩阵A.
【4】（97306）设A为n阶非奇异矩阵，?为n维列向量，b为常数。记分块矩阵
?IP????aTA*?0??A??,Q???TA?????*A其中是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵。 ?,b??（1） 计算并化简PQ:
证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是?A??b.
【5】（98104）设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Ax?0有解向量?，且
kT?1Ak?1??0.证明：向量组?,A?,...,Ak?1?是线性无关的.
【6】（01408）设?i?(?i1,?i2,...?in)T(i?1,2,...,r,r?n)是n维实向量，且?1,?2,...,?r??11x1??12x2?...??1nxn?0,??x??x?...??x?0?2112222nn线性无关.已知??(b1,b2...,bn)T是线性方程组?
.....????r1x1? ?r2x2?...? ?rnxn?0的非零解向量.试判断向量组?1,?2,...,?r,?得线性相关性。
【7】（96408）设向量?1,?2,...,?i是齐次线性方程组AX?0的一个基础解系，向量?不是方程组AX?0的解，即A??0.试证明：向量组?,???1,???2,...,???i线性无关.
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【8】（04313）设
?1?(1,2,0)T,?2?(1,??2,?3?)T,?3?(?1,?b?2,??2b)T,
??(1,3,?3)T，试讨论?,b为何值时，
1. 2. 3.
?不能由?1,?2,?3线性表示;
?可以由?1,?2,?3唯一地线性表示，并求出表示式。
?可以由?1,?2,?3线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。
答案与提示：
1. 当?=0时，?不能由?1,?2,?3线性表示。
2. 当??0，且a?b时，?可以由?1,?2,?3唯一地线性表示。 当a?b?0时?可以由
?1,?2,?3线性表示，但表示式不唯一，其表示式为
???1???1???k??2?ka3 .
【9】（05290）确定常数?，使向量组?1?(1,1,?)T,?2?(1,a,1)T,?3?(a,1,1)T可由向量组?1?(1,1,a)T,?2?(?2,a,4)T,?3?(?2,a,a)T线性表示，?=1时向量组?1,?2,?3不能由向量组?1,?2,?3线性表示。
【10】（00303）设A为n阶实矩阵.A为A的转置矩阵，则对于线性方程组(I):Ax?0和。 (?):ATAx?0，必有（ ）
A.(?)的解是(I)的解，(I)的解也是(?)的解 B. (?)的解是(I)的解， 但(I)的解不是(?)的解 C. (I)的解不是(?)的解，(?)的解也不是(?)的解 D. (I)的解是(?)的解，但(?)的解也不是(I)的解 【11】（98407）已知下列非齐次线性方程组(I)，(?)
T??1?a??1?a??第18页 共35页
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?x1?(I)?4x1?3x?1
???x2x2x2??x3x3??2x4x4??6,??1, 3;?x1?(?)??? （1） （2）
?mx2nx2?x3?x3x3?x4???5,?11,
?2x4?2x4??t?1;求解方程组(I)，用其导出组得基础解系表示通解；
当方程组(?)中得参数m,n,t为何值时，方程组(I)与(?)同解。
答案与提示：
??2??1???4??1?????（1） 方程组得通解为x????k??（k为任意常数）.
??5??2???0????1??当m?2,n?4,t?6时，方程组(I)(?)同解。
?x1?【12】（99409）已知线性方程组?ax1?a2x?1?x2?x3?0?0 ?0?bx2?b2x2?cx3?c2x3（1） a,b,c满足何种关系时，方程组仅有零解？ （2） a,b,c满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。
答案与提示：
（1）当a?b,b?c,c?0时，D?0，方程仅有零解 x1?x2?x3?0 （2）下面分四种情况：
T1、当??b?c时，方程组有无穷多组解，全部解为k1(1,?1,0) （k1为任意常数） T2、当??c?b时，方程组有无穷多组解，全部解为k2(1,?1,0) （k2为任意常数）
3、当b?c?a时，方程组有无穷多组解，全部解为k3(0,1,?1)T （k3为任意常数） 4、当
a=b=c
时，方程组有无穷多组解，全部解为
k4(?1,1,0)T?k5(?1,0,1)T(k4,k5为任意常数).
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【13】（03313）3B 已知齐次线性方程组
?(a1?b)x1?a2x2?a3x3???anxn?ax?(a?b)x?ax???ax112233nn???a1x1?a2x2?(a3?b)x3???anxn?............???a1x1?a2x2?a3x3???(an?b)xn?0,?0,?0, ?0,其中
?ai?1ni?0, 讨论a1,a2,?,an和b满足何种关系时，
（1） 方程组仅有零解；
（2） 方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 答案与提示： （1） 当b?0且b??ai?1ni?0时，秩(A)?n方程组仅有零解.
当b?0时，方程组有非零解，基础解系为a?(1,1,1,?,1)T. 【14】（96403）3B 设
?1??a12 A??a1????an?1?11a22a2?a2n?11a32a3?a3n?1???1an2an?n?1?an?x1???1???????x2???1??，X??x?，B??1?，
?3?????????????1??x?????n?T其中ai?aj(i?j;i,j?1,2,?,n).则线性方程组AX?B的解是 X?(1,0,?,0)T.
【15】（02106，02206）3B 已知4阶方阵A?(a1,a2,a3,a4),a1,a2,a3,a4均为4维列向量，其中a2,a3,a4线性无关，a1?2a2?a3.如果
??a1?a2?a3?a4，求线性方程组
Ax??的通解.
?1??1??????1???2?方程组的通解为x????k?，k为任意实数. ?11?????1??0?????【16】（04413）3B设线性方程组
?x1??x2??x3?x4?0,? ?2x1?x2?x3?2x4?0,
?3x?(2??)x?(4??)x?4x?1.234?1第20页 共35页