线性代数习题集
第五章
【1】判断下列二次型是否正定： （2）f?x1,x2,...,xn???x??xx2iii?1i?1nn?1i?1
【2】设A,B都是n阶正定矩阵，证明A+B是正定矩阵。
【3】用配方法将下列二次型化为标准形，并写出相应的线性替换。
22（1）x1?3x2?2x1x2?2x1x3?6x2x3
22答案：原式=??x1?x2?x3???2x2?x3??y1?y2。
22?13x?y?y?y312?122??11y2?y3 相应的线性变换为?x2?22??y3?x3??
（2）?4x1x2?2x1x3?2x2x3
222答案：原式=?z1。 ?4z2?z3?11x?z?z?z3?11222?11?相应的线性变换为?x2?z1?z2?z3
22??z3?x3??
（3）x1?x2?x3?x4?2x1x2?2x2x3?2x3x4 答案：原式=y1?y2?y3?y4。
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线性代数习题集
??x1?y1???x2??相应的线性变换为??x??y1?3??x?y1?4?y2?y3
?y4?y3?y4【4】用正交变换将下列二次型化为标准形，并写出相应的正交变换。
22（1）21?x2?4x1x2?4x2x3
答案：正交变换为
2?x??y1?13?1?x??y1?23?2?x?y1?33??2y232?y231?y231?y332?y3 32?y33222标准形为y1。 ?4y2?2y3
（2）2x1x2?2x3x4 答案：正交变换为
??x1???x2?????x??3??x4???1y121y121y221y22?1y321?y321?y421?y42
2222标准形为y1。 ?y2?y3?y4【5】判定下列二次型是否正定。 （1）4x1?3x2?5x3?4x1x2?4x1x3 答案：正定
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222线性代数习题集
222（2）2x1?x2?3x2?6x1x2?2x1x3?5x2x3
答案：非正定
2222（3）x1?x2?4x3?7x4?6x1x3?4x1x4?4x2x3?2x2x4?4x3x4
答案：非正定
【6】t取哪些值时，以下二次型是正定的？
222（1）x1?x2?5x3?tx1x2?2x1x3
答案：当?
44时，二次型正定。 ?t?55222（2）x1?2x2?4x3?2x1x2?2tx1x3
答案：当?2?t?2时，二次型正定。
【7】设A是实对称矩阵，且A的任意特征值?满足条件??2，证明2E+A是正定矩阵。
答案：提示：若?是A的特征值，则??2是2E+A的特征值，于是可导出2E+A的全部特征值均
大于零。
【8】设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位矩阵。 （1）证明A?E?0；
答案：利用矩阵的行列式等于其特征值的乘积。
（2）t为何值时，A+tE是正定矩阵。
答案：利用定理：正定矩阵?全部特征值大于零。
【9】例6.3.11设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B为B的转置矩阵，
试证：BAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r?B??n。
TT【10】（99130）设n阶矩阵A的元素全为1，则A得n各特征值是 。 【11】（95410）5B 已知二次型f(x1,x2,x3)?4x2?3x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3
（1） 写出二次型f的矩阵表达式；
（2） 用正交变换把二次型f化为标准形，写出相应的正交矩阵
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22线性代数习题集
答案与提示：
?02?2??x1?????44??x2? （1）f的矩阵表达式为f(x1,x2,x3)?(x1,x2,x3)?2??24?3??x????3??2??5?（2）P??0???1??51305302301??6??1?? 6?2??6?222二次型f作正交变换二次型f可以化为如下标准形f(x1,x2,x3)?y1?6y2?6y3 【12】（01308）5B 设A为n阶实对称矩阵，r(A)?n,Aij是A?(aij)n?n中元素aij的代数余子式(i,j?1,2,?,n)，二次型
f(x1,x2,?,xn)???detAxxii?1i?1nnAijj
（1） 记X?(x1,x2,?,xn)T，把f(x1,x2,?,xn)写成矩阵形式，并证明二次型
f(X)的矩阵为A?1；
（2） （2）二次型g(X)?XAX与f(X)的规范形是否相同？说明理由。
【13】（99307） 5B 设A为m?n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B??E?AA，试证：当??0时，矩阵B为正定矩阵.
【14】（00309） 设有n元实二次型
f(x1,x2,?,xn)?(x1?a1x2)2?(x2?a2x2)2???(xn?1?an?1xn)2?(xn?anx1)2 其中ai?(i?1,2,?,n)为实数，试问：当a1,a2,?,an满足何种条件时，二次型
TTf(x1,x2,?,xn)为正定二次型
答案与提示：
当a1a2?an?(?1)n时，二次型f(x1,x2,?,xn)为正定二次型
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线性代数习题集
【15】（05313）5B 设D????AT?CC??为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，?B??A?1C??； En??T?1C为m?n矩阵
?Em（1） 计算PDP，其中P???O?T（2） 利用（1）的结果判断矩阵B?CAC是否为正定矩阵，并证明你的结论 答案与提示： （1）PTDP=???AO??OB?CTA?1C???
（2）B?CTA?1C为正定矩阵 第35页 共35页