第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等
一、 方法技巧
1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了
多项式f(x)?g(x)的充要条件是：对于一个任意的x=a值，都有f(x)?g(x)；或者两个多项 式各关于x的同类项的系数对应相等．
2. 使用待定系数法解题的一般步骤是：
（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）； （3）解方程（组），从而使问题得到解决.
例如：“已知x?5??2?a??x?bx?c，求a，b，c的值．”
22解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a，b，c的值．这里的a，b，c是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法． 3. 格式与步骤:
(1)确定所求问题含待定系数的解析式.
上面例题中，解析式就是：?2?a??x?bx?c
2(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程. 在这一题中，恒等条件是：
?2?a?1??b?0?c??5?
(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.
?a?1?∴?b?0?c??5?
二、应用举例
类型一 利用待定系数法解决因式分解问题
【例题1】已知多项式2x?3x?ax?7x?b能被x?x?2整除. （1）求a，b
（2）分解因式：2x?3x?ax?7x?b
4322【答案】（1）a? ?12和b? 6 （2）2x?3x?12x?7x?6 ?x?x?24322432???2x2?5x?3?
【解析】 试题分析：
（1）由条件可知x?x?2是该多项式的一个二次因式，而该多项式次数为4，故可设
22x4?3x3?ax2?7x?b??x2?x?2??2x2?mx?n?，可解出m、n，最后代入即可求出a、b的
值.
（2）由（1）可得结果 试题解析：
解：（1）∵多项式2x?3x?ax?7x?b能被x?x?2整除
43222∴设2x?3x?ax?7x?b?x?x?22x?mx?n，
4322????整理，得2x4?3x3?ax2?7x?b?2x4??m?2?x3??m?n?4?x2??n?2m?x?2n
?m?2??3?m?n?4?a?∴?
n?2m?7???b??2n?m??5?n??3?解得?
a??12???b?6∴a、b的值分别为?12和6.
4322（2）2x?3x?12x?7x?6 ?x?x?2???2x2?5x?3?
考点：1.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组.
点评：用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值. 【难度】一般
【例题2】分解因式：2x?5xy?3y?3x?5y?2
【答案】2x?5xy?3y?3x?5y?2? （2x?y?1）（x?3y?2）【解析】 试题分析：
方法一 因为2x?5xy?3y?，因此,如果多项式能分解成两个关于x、y（2x?y）（x?3y）222222（2x-y+m）（x?3y+n）的一次因式的乘积,那么设原式的分解式是,其中m、n为待定系数. 然后展
开，利用多项式的恒等，求出m、n的值. 试题解析：
解：∵2x?5xy?3y?， （2x?y）（x?3y）22∴设2x?5xy?3y?3x?5y?2? （2x?y?m）（x?3y?n）即 2x2?5xy?3y2?3x?5y?2? （2x?y）（x?3y）??m?2n?x??3m?n?y?mn?22?m?2n??3????①?对比系数，得：?3m?n?5???????②
?mn??2??????????③?由①、②解得：?代入③式也成立.
∴2x?5xy?3y?3x?5y?2? （2x?y?1）（x?3y?2）试题分析：
方法二 前面同思路1，因为
所以对2x2?5xy?3y2?3x?5y?2??2x?y??x?3y???m?2n?x??3m?n?y?mn是恒等式，任意x,y的值，等式都成立，所以给x,y取特殊值，即可求出m,n的值. 试题解析：
解：∵2x?5xy?3y?， （2x?y）（x?3y）∴设2x?5xy?3y?3x?5y?2? （2x－y＋m）（x?3y＋n）即 2x?5xy?3y?3x?5y?2? （2x?y）（x?3y）??m?2n?x??3m?n?y?mn?22222222?m?1
?n??2∵该式是恒等式，
∴它对所有使式子有意义的x，y都成立， 那么令x?0，y?0得：mn??2 ① 令x?0，y?1得：3m?n?mn?3?0 ②
2??m?1?m?解①、②组成的方程组，得?或?3
n??2???n?-3把它们分别代入恒等式检验，得?22?m?1
?n??2∴2x?5xy?3y?3x?5y?2? （2x?y?1）（x?3y?2）考点：1.待定系数法分解因式 2.解方程组.
点评：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验.若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式. 【难度】较难
类型二 利用待定系数法解决分式拆分问题
【例题3】 将分式
1拆分成两个分式的和的形式. 2(x?1)(x?1)【答案】
1?x?11 ??(x2?1)(x?1)2(x2?1)2(x?1)【解析】 试题分析： 设
1ax?bc，将等式右边通分，再利用分子恒等求出a、b、c的值即可. ??(x2?1)(x?1)x2?1x?1试题解析： 解：设
1ax?bc ??22(x?1)(x?1)x?1x?1ax?bc(a?c)x2?(a?b)x?b?c而2 ??2x?1x?1(x?1)(x?1)1(a?c)x2?(a?b)x?b?c即2 ?(x?1)(x?1)(x2?1)(x?1)比较分子，得
?a?c?0??a?b?0?b?c?1?
解得a??11， b?c?. 22∴
1?x?11 ??(x2?1)(x?1)2(x2?1)2(x?1)考点：分式的恒等变形
点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为Ax?B形式，分母只含一次项，则设分子为常数 【难度】较难
【例题4】计算：
1111???...?
a?a?1??a?1??a?2??a?2??a?3??a?9??a?10?【答案】【解析】
10
a?a?10?试题分析：
本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a是整数），所以我们探究其中一个分式，找到相通的规律，从而解题. 试题解析： 解：我们设
1AB ??a?a?1?aa?1而
A?a?1??Ba?A?B?a?AAB ???aa?1a(a?1)a?a?1?比较分子得：??A?B?0?A?1，解得：?
?A?1?B??1所以
111 ??a?a?1?aa?111111111??????...? aa?1a?1a?2a?2a?3a?9a?1011? aa?10所以，原式=
? ?10
a?a?10?考点：分式计算.
点评：在做题的时候见到式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积，可直接用公式
111拆分. ??n?n?1?nn?1【难度】较难
类型三 利用待定系数法解决多项式中不含某项问题
2【例题5】 已知x?mx?3?3x?2?的积中不含x的二次项，则m的值是（ ）
??A. 0 B. 【答案】C 【解析】 试题分析：
223 C. ? D. ? 3322将多项式x?mx?3?3x?2?展开、合并，按x的降幂排列，根据积中不含x的二次项等价于x项
??2的系数为零列方程即可求得m的值. 试题解析：