二、分析与计算（40分）
1、图示两个结构和单元相似，单元方位相同的平面应力有限元模型，两模型的单元厚度和材料相同。两个模型右端单元边上受均匀剪切面力。对于下列2种情况，试根据有限元法和力学有关知识来分析论证两个模型求解后对应节点（节点1）的位移值和对应单元的应力值之间的关系：1）两个模型面力的合力相等；2）两个模型面力值相等。（10分）
解：(1)A?11xj21xm1xiyiyjbi??ym0cibi1yj1xjci??1ym1xmbj0cj0cjbjbm0cm?bi1?(2)应变矩阵?B??0?2A?ci?0??cm?bm??
(3)平面应力单元刚度矩阵：[K]e?V[B]T[D][B]
(4)对上图（a）,（b）求解刚度矩阵： 单元编号 (1) (2) (3) (4) i 1 3 3 5 j 2 1 4 3 m 4 4 6 6 对于（a）(b)刚度矩阵相等
0?1???02?Et???1?2?(1)(3)[K]?[K]? 2?1?????1?2
?02? ?0??1??
??1??101????2??22?0??3??1???2??1??1??3???2???1??2?2?20????1??101?????3??1???2??1??1?1??3???2???1??1?200Et??2?2?(2)(4)[K]?[K]?3??0??1??1?2?2??2???1??101??1??1????03???2??2??1??1????1??101??1?????1?2??3????100?2??22?00???00???1?2??13????2??1006?2???1?2??结构总的刚度??2?矩阵的组集： 2??0???1000???1?0000?2???1002???2???100
000002??2???1?2?2?0?0??0??0???1??[K](a)?[K](b)?Et??2???100??16?2????1?4??11??2??0??1?2?2?2??2???16?2???10???10??1??1???1?4??16?2?0??0000?2??1003????0000?2???100??1?00000??1?2?2???1??0000??10??1??1?2?
(5)外部载荷与约束力：
对于第一种情况；（a）[N]T?[0,?10Pt,0,?10Pt,0,0,0,0,R5X,R5Y,R6X,R6Y]
(b) [N]T?[0,?10Pt,0,?10Pt,0,0,0,0,R5X,R5Y,R6X,R6Y]
对于第二钟情况：(a) [N]T?[0,?10Pt,0,?10Pt,0,0,0,0,R5X,R5Y,R6X,R6Y]
(b) [N]T?[0,?5Pt,0,?5Pt,0,0,0,0,R5X,R5Y,R6X,R6Y] （6）位移矩阵：
[a]T?[u1,v1,u2,v2,u3,v3,u4,v4,u5,v5,u6,v6]
有约束条件可知：
u5?0,v5?0,u6?0,v6?0（7）根据最小势能原理：
[K][a]?[N] 进行求解
（8）位移和应力值的关系：
[?]?[D][B][a] [B](b)?2[B](a) 对于第一种情况：
节点1的位移：
[u]TT1,v1(a)?[u1,v1](b)
??1??10?20?2???1??13????1??13???200????1???1???2???2??0??3???? 单元（1）的应力值：
[?](b)?2[?](a) 对于第二种情况：
节点1的位移：
TT [u1,v1](a)?2[u1,v1](b) 单元（1）的应力值： [?](b)?[?](a)
2、证明3节点三角形单元满足协调性条件（相邻单元之间位移连续）。（10
证明：假设任意两个相邻的三角形单元如图所示：
i(0,0),j(xj,yj),m(xm,ym),n(xn,yn) 这里采用x,y的一次多项式作为位移插值函数：
u??1??2x??3yv??4??5x??
6y将广义坐标换为单元节点自由度的二维插值：
u?Niui?Njuj?Nmum v?Nivi?Njvj?Nmvm
其中N1i?2A(a?bix?ciy) 1xiyi A?121xyxjyj1yj1xjjjai?ybi??
1xm1yci??m1xmmyxmm分）
（1）相邻之间单元连续，先说明插值函数连续；
?u??1??2x??3y ?
v????x??y456? 有方程可知道u,v函数在平面内是连续的。
（2）单元1(i-j-m)和单元2（i-j-n）在i-j边界处连续； （a）先证明u函数在单元间连续
u?
1[xjym?xmyj?(yj?ym)x?(xm?xj)y]ui?2A
1[xmyi?xiym?(ym?yi)x?(xi?xm)y]uj?2A1[xiyj?xjyi?(yi?yj)x?(xj?xi)y]um2A 把y?yjxjx，2A?xjym?yjxm代入上面的方程： xx)ui?uj xjxj u?(1? 有上式可以看出在边界处的位移变化与m,n点的坐标值无关，只是与
i,j的坐标值和位移值有关，所以单元1与单元2在i-j边界处u值相等 (b)同理可证得：单元1与单元2在i-j边界处v值相等
(3)结论：由于插值函数连续，单元1与单元2在边界处u,v的值相等，所以三节点三角形单元相邻单元之间位移连续。
4??x??Nixi?i?13、对4节点四边形平面等参元，试验证等参变换?能把?,?平面上的正
4?y?Ny?ii?i?1?方形母单元映射成为x,y平面上4节点任意四边形单元。（10分）
证明：如上图所示，坐标系?o?中2?2的正方形单元1-2-3-4（图b）通过映射关系：
'x?f(?,?)?a??x0y?g(?,?)?b??y0
可以得到坐标系xoy中2a?2b的矩形单元i-j-k-l(图a),并保证四个顶点间的映射关系为： 1—i 2—j 3—k 4—l
更一般地，如果假设坐标系xoy中的坐标x,y与原坐标系?o'?中?,?的映射关系
为：
x?f(?,?)??1??2???3???4??y?g(?,?)??1??2???3???4??'
则可以实现坐标系?o?中的正方形单元1-2-3-4（图b）向坐标系xoy中任意直边四边形
i-j-k-l(图c)的映射。若进一步假定在两个不同坐标系中，四边形顶点的对应关系为：
1—i 2—j 3—k 4—l 同时也可以将上式改写成插值函数形式：
x?f(?,?)?N1(?,?)xi?N2(?,?)xj?N3(?,?)xk?N4(?,?)xly?g(?,?)?N1(?,?)yi?N2(?,?)yj?N3(?,?)yk?N4(?,?)yl'
上式中中的N1,N2,N3,N4 就是坐标系?o?中2?2的正方形单元顶点1，2，3，4上的拉格朗日插值基函数：
(??1)(??1)4(??1)(??1)N2??4
(??1)(??1)N3?4(??1)(??1)N4??4N1?