4??x??Nixi?i?1'所以?o?平面上的正方形母单元经过等参变换?能映射成为xoy平面上4节
4?y?Ny?ii?i?1?点任意四边形单元
4、图示一个一维直杆问题，杆的截面积为A,弹性模量为E。杆受线性变化的轴向线分布力q?cx。试构造一种三次杆单元求解该问题，单元有4个节点，节点间隔均匀，形函数可以由形函数性质直接构造或采用拉格朗日插值多项式。整个杆用1个单元离散化。解出节点位移后，由单元有关方程导出单元上位移和应力的函数表达式，并将有限元解与精确解作比较。（10分）
解：（1）对于三次单元，首先假设三次函数作为插值函数： u?b1?b2x?b3x2?b4x3
（2）等分的四个节点分别为1，2，3，4整理为形函数形式： u?N1u1?N2u2?N3u3?N4u4 采用拉格朗日插值多项式求解形函数： 4(x?u1)(x?u2)(x?u3)(x?u4)N??k i?1(uk?u1)(uk?u2)(uk?u3)(uk?u4)
（3）求出形函数：
1x3x3x(1?)(2?)(1?)2lll9x3x3xN2?()(2?)(1?)2lll9x3x3xN3?()(?1)(1?)2lll1x3x3xN4?()(2?)(1?)2lllN1?(4)求解刚度矩阵：
经过计算得：
[N]?[N1,N2,N3,N4][B]?d[N]dxl0[K]??[B]TAE[B]dx ?371892713????10 402040??5429727? ??189??AE?4054020?K?2
29754189?l?27?? ?2040540??132718937? ????40204010??
（5）求解载荷矩阵：
经过计算得：
[R]??[N]Tcxdx0l?1??60??3???3?40?[R]?cl?3??10??13???120?? (6)用最小势能原理得：
[K][D]?[R]
D]?[u1,u2,u3,u4] 其中 [
由于u1?0可以划去第一个方程解出其余三个方程组得：
?43??324?u2??3??
?u??cl?37??3?AE?162?
??u4???1?
??4??
(7)求解插值函数表达
式：
所以：
精确解为：
（8）单元应力：
经计算得：
精确解为：
??b1???05cl2??
?b?2????b???12AE?3??b??04??c??6AE??u?5cl212AEx?c36AExu?cl2c2AEx?36AEx?x?E?x?E[B][D]c11922151212x?A(?152x?684lx?324l)cx?(?0.783x2?0.314lx?0.354l2A)?c11xA(?2x2?2l2)
???
一 实验题目：
一个200mm×200mm平板，中心有一个直径5mm圆孔，左右两边受面内均匀拉伸载荷1MPa。建立平面应力问题有限元模型，分别采用3节点三角形单元和8节点四边形等参元计算孔边应力集中。
二 实验目的：
通过采用3节点三角形单元和8节点四边形等参元计算孔边应力集中，对
两种单元的求解精度进行比较。经过简单力学分析，可以知道本实验问题属于平面应力问题，基于结构和载荷的对称性，可以只取模型的1/4进行分析。以此来掌握平面问题的有限元分析方法和对称性问题建模的方法。
三 建模概述:
3.1 定义工作文件和工作标题
3.1.1 定义工作文件名
执行Utility Menu-File→Change Jobname→3-1,单击OK按钮。 3.1.2 定义工作标题
执行Utility Menu-File→Change Tile→my work，单击OK按钮。 3.1.3 更改当前工作目录
执行Utility Menu-File→Change the working directory→E/STUDY/ ANSYS/kaoshi。
3.2 定义单元类型、实常数和材料属性
3.2.1 设置计算类型
执行Main Menu→Preferences→select Structural→OK。 3.2.2 选择单元类型
先：Main Menu→Preprocessor→Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Solid→Quad 8node 182→OK。（三节点三角形单元）
后：Main Menu→Preprocessor→Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Solid→Quad 8node 183→OK。（八节点四边形单元） 如图下图所示：
3.2.3 定义实常数
执行Main Menu→Preprocessor→Real Constants→Add/Edit/Delete→ Add→OK→Close。 3.2.4 设置材料属性
执行Main Menu→Preprocessor→Material Props→Material Models→Structural→Linear→Elastic→Isotropic→输入实常数（在EX框中输入210000，在PRXY框中输入0.3）→OK。 3.3 创建几何模型 3.3.1 生成矩形平面
执行Main Menu→Preprocessor→Modeling→Create→Areas→Rectangle→By 2 Corners→输入尺寸→OK。 3.3.2 生成圆形
执行Main Menu→Preprocessor→Modeling→Create→Areas→Circle→ Solid Circle→输入圆点坐标及半径→OK。
3.3.3 布尔运算得到几何模型
执行Main Menu→Preprocessor→Modeling→Operate→Booleans→Subtract→Area→选择矩形面→OK→选择圆形→OK。 如图3-2所示：