电子科技大学硕士学位论文
信号的全部频率分量组成了所谓的频谱。人们主要通过在频域范围内测量频谱的各个分量，以此来获取信号的多种参数。在频谱测量中，一般将随频率变化的幅度谱称为频谱，而傅立叶变换是频谱测量的基础。对于任意一个时域信号来说，它都可以被分解为一系列不同频率、不同相位、不同幅度的正弦波组合。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，是信号处理等领域的重要分析工具，傅里叶变换对于分析线性系统以及平稳信号都非常的适用。离散傅里叶变换（DFT）作为连续傅里叶变换的离散表达形式，用于在计算机上做数字运算，但由于DFT的计算量相当大，其应用就受到了一定程度的限制。而快速傅里叶变换（FFT）是快速计算DFT的一种高效方法，它使DFT的运算大大简化，因此将其应用于我们的信号处理当中。
FFT是DFT的快速计算方法，在此分别介绍一下DFT与FFT。
4.2.1傅立叶变换
通常要进行数字处理的往往是连续时间信号。而对连续时间信号进行模/数转换的第一个问题是将其离散化（采样），其次是对采样信号进行量化和编码，将其数字化。在这个过程中需要满足采样定理。下面介绍傅立叶变换的数学方法。
如果模拟信号为x(t)，它的傅立叶变换（或称频谱）可以表示为：
?X(?)??x(t)e?j?tdt （4－1）
??其反变换是：
x(t)?12?????X(?)ej?tdt （4－2）
在正变换中x(t)经过采样后变为x(nT)，T为采样周期。那么对于离散信号
x(nT)的傅立叶变换对（正反变换）可以表示为：
nk X(k)??x(n)WN （4－3）
n?0N?11N?1?nk)N x(n)??Xk(W （4－4）
Nk?0式中WN?exp(?j2?)。DFT对应在时域、频域都是有限长，且又都是离散的一类变N~~换，x(n),X(k)分别是x(nTs)和X(k?0)的一个周期，此处把Ts和?0都归一化为1。在
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第四章 虚拟数字频谱仪软件设计
我的设计当中，采样点数为N=4096，那么在计算所有的X(k)时，总共需要计算N2次乘法和N(N?1)加法，这样可以看到计算DFT所花费的时间都比较长。 而下面所提供的快速傅立叶变换（FFT）算法依靠蝶形因子WN内在的对称性和周期性，使得运算速度得到加快，最终使N=4096点的DFT计算量下降为Nlog2N=2048*12=24576，这种方法比DFT的2*N(N?1)=33546240快了1365倍。2因此，运用FFT算法来求频谱信号要比DFT方便快捷很多。下面就介绍一下FFT算法。
4.2.2 FFT理论 由DFT的性质可知并令
?W0W0W0?012WWW?nkWN?[W]??W0W2W4??………………?W0WN?1W2(N?1)?…………………………??N?1W?W2(N?1)?? （4－5）
……?W(N?1)(N?1)??W0由（4－5）的W矩阵可知，虽然其中含有N2个元素，但由于蝶形因子WN的对称性和周期性，其中只有N个独立的值，即W0，W1，……，WN?1，且在N个值中有一部分取值极其简单。简而言之，WN因子的取值有特点如下特点：
01W（1）W＝，N2＝1； （4－6）
r?N2W（2）
N?rN＝W，WNrN＝-Wr （4－7）
将蝶形因子的周期性和对称性与矩阵相结合，这样就减少了计算量，大大简化了变换过程，并且提高了效率。FFT主要是通过将长序列的DFT分解为短序列的DFT来实现变换的过程。首先，将N点的DFT先分解为2个N/2点的DFT，然后对每个N/2点的DFT又分解为N/4点的DFT，以此类推。最小变换的点数即所谓的“基数（radix）”。因此，基2的FFT算法的最小变换（蝶形）是2点DFT。一般的，对N点FFT，对应于N个输入值，有N个频域值与之对应。
在这种分解方法中，主要分为了两类：第一类是基于时间序列x(n)进行分解，由此得到的FFT算法为按时间抽取算法；第二类是将x(n)进行了傅里叶变换后的
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X(k)进行抽取分解，这类叫做频率抽取算法。对每一类算法，按照蝶形运算的周期性和对称性，又将其为基2、基4、基8等任意因子的FFT算法。因此，对于一个x(n)的序列来说，N是2的整次幂，才能进行FFT的运算。
结合本设计中取N=212=4096，那么将改序列分解为偶数点和奇数点的两个N/2=2048点的序列，即
偶数序列：a(n)=x(2n)
奇数序列：b(n)=x(2n+1) 在这里n=0,1,2??2047 因此，x(n)的4096点FFT就可以表示为：
X（k）=?x(2n)Wn?020472nk4096(2n?1)k??x(2n?1)W4096 （4－8） n?02047因为，蝶形因子的特性可知，W?[e20472N?j(2?4096)2]?W2048，因此
（4－9）
X(k)??x(2n)Wn?0nk2048?Wk40962047n?0?x(2n?1)Wnk2048令A（k）和B（k）分别表示上式中右边第一个和式和第二个和式，则有 X(k)?A(k)?W4096B(k) （4－10）
由于A（k）和B（k）的周期为N/2=2048，X(k)式4096点的DFT，因此计算
kk的范围为0到（N/2-1=2047）,计算k=N/2=2048至（N-1）=4095的X(k)时利用k?N2kWN??WN的特性，得：
k X(k?N2)?X(k?2048)?A(k)?W4096B(k) （4－11）
上面两式分别用来计算0?k?(N2?1)?2047和N2?2048?k?(N?1)?4095的X（k）。以同样的方式进行抽取，就可以得到N/4=1024点的DFT，重复这个抽取的过程，就可以使得N点的DFT用一组2点DFT来计算。
X(a)kWNX(a)'X(b)-1X(b)'
图 4－1基数为2 的时间抽取FFT蝶形算法
基数为2的DFT中，设N?2M?212?4096，因此总共有12级的运算，每级总有
NN/2=2048个2点FFT蝶形运算。因此，4096点FFT总共有log2N=24576次蝶形
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运算。基数为2的时间抽取FFT蝶形运算如图4－1所示，设蝶形运算的输入分别为X(a)和X(b)，输出分别为X(a)'和X(b)'，则有
'X(a?)X(Nb ) W X(a)? （4－12）
k'X(a?)X(Nb )W X(b)? （4－13）
k在FFT运算中，数据的分组和重新排序是一个关键问题。对于基2的FFT来说，就是将数据采样的序号高低位颠倒正好就是结果的新序号。因此，对于采样的结果只需倒位后就可以送入到存储器里。
上面讨论的FFT算法都是在输入和输出均为复数序列的条件下所得。而在实际工程中，输入序列通常都是实数。计算实数序列的FFT时当然可以采用复数FFT算法，只需将虚部置0。但是，如果能够考虑实数序列FFT的对称特性，则实数序列FFT的运算量可以降低一半，同时存储量可以减少一半。
FFT主要具有以下的基本特性：
1.输出频谱的复数值X(k)，同时包含幅度、相位信息。若X(k)?Re(k)?jIm(k)，则幅度谱为X(k)?Re2(k)?Im2(k)，相位谱为?(k)?arctanIm(k)。计算出的频谱为峰值Re(k)频谱，对周期信号而言，谱线的高度仅为付氏频谱谱线高度的一半。当用有效值（RMS）表示幅值频谱时，X(k)?RMSX(k)2。
2.各节点之间的频率间隔由时间长度N和采样频率fs决定：?f?fs。 N3.第k个节点对应的频率值为f(k)?k?fs，FFT形成的频谱相对于折叠频
N率fS /2对称，FFT的输出频率范围为0～fS/2。实际只有一半数据有意义。
用DFT进行测试信号频域特性分析存在主要误差有混叠误差、量化误差、频谱泄漏和栅栏效应等，减少计算误差的办法有，增加A/D的有效位数，提高采样频率，增加采样时间和采样点数，整周期采样或加窗处理等。
4.2.3 窗函数
在信号处理中不可避免地要遇到数据截短问题，这是因为实际工作中所能处理的离散序列总是有限长，把一个长序列变成有限长的短序列不可避免地要用到窗函数，而加窗是改善DFT的一种重要手段，选择合适的窗能够有效抑制频谱泄漏，提高精度。加窗的实质就是对被分析信号在不同时刻加不同的权值，以使信
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号截断的影响尽可能的小。为了改善分析信号的频谱特性，许多从事数字信号处理的学者设计了各种不同特性的窗函数。窗的形状和宽度决定了窗函数的特征，不同的窗函数的频谱的主瓣和旁瓣是不同的，主瓣宽度决定了被截短以后所得序列的频域分辨率，而旁瓣峰值有可能湮灭没信号频谱分量中较小的成分。因此我们不难想到，对窗函数的要求是，希望它频谱的主瓣尽量的窄，旁瓣峰值尽量的小，使频率的能量能主要集中窄主瓣内，而这两个标准是相互矛盾的，因为增加主瓣的宽度才能降低旁瓣，反之，只有主瓣变高变窄，旁瓣才会变高[11]。
下面给出三个频域指标以定量地比较各种窗函数的性能。
（1）3dB带宽B，它是主瓣归一化的幅度下降到－3dB时的带宽。当数据长度为N时，矩形窗主瓣两个过零点之间的宽度为4?N。主瓣宽度B0?4?N
（2）最大旁瓣峰值A（dB）
（3）旁瓣谱峰值渐进衰减速度D（dB/oct）
一个理想的窗函数，应该具有最小的B和A以及最大的D。 在本虚拟频谱分析系统中提供了五种常用窗函数： （1） 矩形窗（Rectangular window）
n?0,1……,N,?1?1 ?R(n)??0 （4－14）
n为其它值?N?sin2WR(?)?窗谱宽度： ? （4－15）
sin2 B?0.89??, B0?4?N, A??13dB, D??6dB/oct
由于信号的输入是无现长，因此我们用这个窗函数是来截断它，实现对有限长的信号进行频谱分析，这里我们选用的点数N=4096。在频谱仪的设计中，矩形窗是最基本的窗函数。
（2）三角窗(Bartlett Window)
?2n??(n)??N
???(N?n)Nn?0,1……,，2n?N2 （4－16）
,……，N－1 40