热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：
其中：
?
u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。
? ? ?
/,
是空间中一点的温度对时间的变化率。 与
温度对三个空间座标轴的二次导数。
k 决定于材料的热传导率、密度与热容。
热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。
如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定 u 的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。
热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。
热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。 利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式
其中的 是对空间变量的拉普拉斯算子。
热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。
就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。
以傅里叶级数解热方程[编辑]
以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作 Théorie analytique de la chaleur（中译：解析热学）给出。先考虑只有一
个空间变量的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。方程如下：
其中 u = u(t, x) 是t 和 x 的双变量函数。
?
x 是空间变量，所以 x ∈ [0,L]，其中 L 表示棍子长度。
?
t 是时间变量，所以 t ≥ 0。
假设下述初始条件
其中函数 f 是给定的。再配合下述边界条件
.
让我们试着找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件 (3) 并具备以下形式：
这套技术称作分离变量法。现在将 u 代回方程 (1)，
由于等式右边只依赖 x，而左边只依赖 t，两边都等于某个常数 ? λ，于是：
以下将证明 (6) 没有 λ ≤ 0 的解：
假设 λ < 0，则存在实数 B、C 使得
从 (3) 得到
于是有 B = 0 = C，这蕴含 u 恒等于零。
假设 λ = 0，则存在实数 B、C 使得
仿上述办法可从等式 (3) 推出 u 恒等于零。
因此必然有 λ > 0，此时存在实数 A、B、C 使得
从等式 (3) 可知 C = 0，因此存在正整数 n 使得
由此得到热方程形如 (4) 的解。
一般而言，满足 (1) 与 (3) 的解相加后仍是满足 (1) 与 (3) 的解。事实上可以证明满足 (1)、(2)、(3) 的解由下述公式给出：
其中
推广求解技巧[编辑]
上面采用的方法可以推广到许多不同方程。想法是：在适当的函数空间上，算子
可以用它的特征矢量表示。这就自然地导向线
性自伴算子的谱理论。
考虑线性算子 Δ u = ux x，以下函数序列
（n ≥ 1）是 Δ 的特征矢量。诚然：