此外，任何满足边界条件 f(0)=f(L)=0 的 Δ 的特征矢量都是某个
en。令 L2(0, L) 表 [0, L] 上全体平方可积函数的矢量空间。这些
函数 en 构成 L2(0, L) 的一组正交归一基。更明白地说：
最后，序列 {en}n ∈ N 张出 L2(0, L) 的一个稠密的线性子空间。这就表明我们实际上已将算子 Δ 对角化。
非均匀不等向介质中的热传导
一般而言，热传导的研究奠基于以下几个原理。首先注意到热流是能量流的一种形式，因此可以谈论单位时间内流进空间中一块区域的热量。
?
单位时间内流入区域 V 的热量由一个依赖于时间的量 qt(V) 给出。假设 q 有个密度 Q(t,x)，于是
?
热流是个依赖于时间的矢量函数 H(x)，其刻划如下：单位时间内流经一个面积为 dS 而单位法矢量为 n 的无穷小曲面元素的热量是
因此单位时间内进入 V 的热流量也由以下的面积分给出
其中 n(x) 是在 x 点的向外单位法矢量。
?
热传导定律说明温度对时间的梯度满足以下线性关系
其中 A(x) 是个 3 × 3 实对称正定矩阵。
利用格林定理可将之前的面积分转成一个体积分
?
温度在 x 点对时间的改变率与流进 x 点所在的无穷小区域的热量成正比，此比例常数与时间无关，而可能与空间有关，写作 κ (x)。
将以上所有等式合并，便获得支配热流的一般公式。
注记：
?
系数 κ(x) 是该材料在 x 点的密度和比热的积的倒数。 在等方向性介质的情况，矩阵 A 只是个标量，等于材料的导热率。
?
?
在非等向的情况， A不一定是标量，我们鲜少能明确写出热方程的解。然而通常可考虑相应的抽象柯西问题，证明它是适定的，并（或）导出若干定性结果（诸如初始值保持正性、无穷传播速度、收敛至平衡态或一些平滑化性质）。这些论证通常有赖于单参数半群理论：举例来说，如果 A 是个对称矩阵，那么由
定义的椭圆算子是自伴而且耗散的，因此由谱定理导出它生成一个单参数半群。
粒子扩散[编辑] 粒子扩散方程[编辑]
在粒子扩散的模性中，我们考虑的方程涉及
?
在大量粒子集体扩散的情况：粒子的体积浓度，记作 c。
或者
?
在单一粒子的情况：单一粒子对位置的概率密度函数，记作 P。
不同情况下的方程：
或者
c 与 P 都是位置与时间的函数。D 是扩散系数，它控制扩散速度，
通常以米/秒为单位。
如果扩散系数 D 依赖于浓度 c（或第二种情况下的概率密度 P），则我们得到非线性扩散方程。
单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动。 如果一个粒子在时间 有以下形式：
时置于
，则相应的概率密度函数具
它与概率密度函数的各分量
、
和
的关系是：
随机变量
服从平均数为 0、变异数为
的正态分布。
的正态
在三维的情形，随机矢量 服从平均数为 、变异数为 分布。
在 t=0 时，上述 的表示式带有奇点。对应于粒子处在原点
之初始条件，其概率密度函数是在原点的狄拉克δ函数，记为 （三维的推广是 的解也称作格林函数。
）；扩散方程对此初始值
扩散方程的历史源流[编辑]
粒子扩散方程首先由 Adolf Fick 于1855年导得。
以格林函数解扩散方程[编辑]
格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解（数学家称之为扩散方程的基本解）。当粒子初始位置在原点 时，相应的格林函数记作
（t>0）；根据扩散方程对平移的对称性，对一般的已知初始
位置
，相应的格林函数是
。
对于一般的初始条件，扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函数的叠加。
举例来说，设 t=0 时有一大群粒子，根据浓度分布的初始值 分布于空间中。扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何随时间演化。 跟任何（广义）函数一样，浓度分布的初始值可以透过积分表为狄拉克δ函数的叠加：