近世代数
一、单项选择题
A、{1，2，3，4} B、{2，3，6，7} C、{2，3} D、{1，2，3，5，6，7} 答案：C
2、循环群与交换群关系正确的是（ ）
1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则A?B=（ ）
A、循环群是交换群 B、交换群是循环群 C、循环群不一定是交换群 D、以上都不对 答案：A
3、下列命题正确的是（ ）
A、n次对换群Sn的阶为n! B、整环一定是域 C、交换环一定是域 D、以上都不对 答案：A
4、关于陪集的命题中正确的是（ ）设H是G的子群，那么 A、 B、 C、 D、
对于?aH,bH,有aH?bH??或aH?bH
aH?H?a?H aH?bH?a?1b?H
以上都对
答案：D
5、设A=R（实数域）， B=R+（正实数域） f :a→10a a?A 则 f 是从A到B的（ ）
A、单射 B、满射
C、一一映射 D、既非单射也非满射 答案：D
1
6、有限群中的每一个元素的阶都（ ） A、有限 B、无限 C、为零 D、为1 答案：A
7、整环（域）的特征为（ ）
A、素数 B、无限 C、有限 D、或素数或无限 答案：D
8、若S是半群,则( )
A、任意a,b,c?S,都有a(bc)=(ab)c B、任意a,b?S,都有ab=ba C、必有单位元 D、任何元素必存在逆元 答案：A
9、在整环Z中，6的真因子是（ ） A、?1,?6 B、?2,?3 C、?1,?2 D、?3,?6 答案：B
10、偶数环的单位元个数为（ ） A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个 答案：A
11、设A1,A2,?,An和D都是非空集合，而f是A1?A2???An到D的一个映射，那么（ ）
A、集合A1,A2,?,An,D中两两都不相同； B、A1,A2,?,An的次序不能调换；
C、A1?A2???An中不同的元对应的象必不相同； D、一个元?a1,a2,?,an?的象可以不唯一。
2
答案：B
12、指出下列那些运算是二元运算（ ） A、在整数集Z上，a?b?a?b； abB、在有理数集Q上，a?b?ab；
C、在正实数集R?上，a?b?alnb； D、在集合?n?Zn?0?上，a?b?a?b。 答案：D
13、设?是整数集Z上的二元运算，其中a?b?max?a,b?（即取a与b中的最大者），那么?在Z中（ ）
A、不适合交换律； B、不适合结合律； C、存在单位元； D、每个元都有逆元。 答案：C
14、设?G,??为群，其中G是实数集，而乘法?:a?b?a?b?k，这里k为G中固定的常数。那么群?G,??中的单位元e和元x的逆元分别是（ ）
A、0和?x； B、1和0； C、k和x?2k； D、?k和?(x?2k)。 答案：D
15、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a?bxc?1,acx?xac，那么x?（ ） A、bc?1a?1； B、c?1a?1； C、a?1bc?1； D、b?1ca。 答案：A
16、设H是群G的子群，且G有左陪集分类?H,aH,bH,cH?。如果6，那么G的阶G?（ ）
A、6； B、24； C、10； D、12。 答案：B
17、设f:G1?G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）
3
A、f的同态核是G1的不变子群；
B、G2的不变子群的逆象是G1的不变子群； C、G1的子群的象是G2的子群； D、G1的不变子群的象是G2的不变子群。 答案：D
18、设f:R1?R2是环同态满射，f(a)?b，那么下列错误的结论为（ ） A、若a是零元，则b是零元； B、若a是单位元，则b是单位元； C、若a不是零因子，则b不是零因子；D、 若R2是不交换的，则R1不交换。 答案：C
19、下列正确的命题是（ ）
A、欧氏环一定是唯一分解环； B、主理想环必是欧氏环； C、唯一分解环必是主理想环； D、唯一分解环必是欧氏环。 答案：A
20、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（ ） A、?E:I???E:I??I:F?； B、?F:E???I:F??E:I?； C、?I:F???E:F??F:I?； D、?E:F???E:I??I:F? 答案：D
二、填空题
1、集合A的一个等价关系需满足自反性、对称性和（ ） 。 答案：传递性
2、设A,B都为有限集，且A?m,B?n,则A?B?（ ）. 答：mn
3．设R是集合A＝｛平面上所有直线｝上的关系：
l1Rl2?l1∥l2或l1?l2 （l1,l2?A），则R（ ）等价关系。
4
答：是
n4、设群G中的元素a的阶为m，则a?e的充要条件是（ ）。
答：mn
5、群G的非空子集H作成G的一个子群的充要条件是（ ）。
?1答：?a,b?H,有ab?H
6、n次对称群Sn的阶是（ ）。 答：n!
H是G的子群，7、设G是有限群，且H在G中的指数为n，则G?（ ）。
答：nH
8、设G是一个群,e是G的单位元，若a?G,且a=a,则（ ） 答：a=e
9、最小的数域是（ ）。 答：有理数域
10、设集合A=｛1,2｝,则A×A=（ ）,2A＝（ ）。 答：｛（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）｝，｛Φ，｛1｝，｛2｝，｛1，2｝｝
?111、设f是A的一个变换，S?A，则f?f?S??（ ）f?f?1?S??。
答：?
12、设R1,R2是集合A上的等价关系，R1?R2（ ）等价关系。 答：是
n13、若群G中每一个元素x都适合方程x?e，则G是（ ）群。
答：交换群
14、n阶群G是循环群的充要条件是（ ）。 答：G中存在n阶的元素
15、设G,G1是有限循环群，G?m,G1?n,则G1是G的同态象的充要条件是
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