答：设环R没有左零因子，如果有ab?ac，则有
ab?ac?a(b?c)?0，
当a?0时，由于R没有左零因子，得b?c?0，即b?c，R中关于乘法左消去律成立。
反之，若在R中关于乘法左消去律成立，如果a?0，有ab?0，即
a?b?0?a?0，左消去a得b?0，即R中非零元均不是左零因子，故R为
无零因子。
11、若I1,I2是R的两个理想，则
I1?I2??x1?x2x1?I1,x2?I2?也是R的一个理想。 答：?x,y?I1?I2,?r?R，则有
x?x1?x2,y?y1?y2，(x1,y1?I1;x2,y2?I2)，从而 x?y?(x1?y1)?(x2?y2)?I1?I2； rx?r(x1?x2)?rx1?rx2?I1?I2； xr?(x1?x2)r?x1r?x2r?I1?I2。 所以，I1?I2是R的一个理想。
),(132)},H?{(1),(12)},则H是G的一个子12、设G?S3?{(1),(12),(13),(23),(123群，写出G关于H的所有左陪集的分解. 答案：(1)H?(12)H?H,
(13)H?{(13),(123)}?(123)H, (23)H?{(23),(132)}?(132)H,
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因而，G关于H的左陪集的分解为.
G?H?(13)H?(23)H
13、在Q中的代数运算?是否满足结合率和交换率？
a?b?b2
2222a?1,b?2,c?3,????1?2?3?2?3?3?91?2?3?1?3?9?81 答：取则，22又1?2?2?4,2?1?1?1。
所以，Q的代数运算?既不满足结合率，又不满足交换率。
14、设G?S3???1?,?12?,?13?,?23?,?123?,?132??，H???1?,?12??，求G关于子群H的右陪集分解。
答：H?1??H(12)???1?,?12??，
H?13??H(132)???13?,?132??， H?23??H(123)???23?,?123??。 因而，G关于子群H的右陪集分解为 G?H?H?13??H(23)。
15、设S是有单位元e的半群，a?S，若a有左逆元a1，又有右逆元a2，则a是可逆元，且a1?a2是a的唯一的逆元。
答：证明由条件知，a1a?e,aa2?e,则有a2?ea2??a1a?a2?a1?aa2??a1e?a1, 若b,c都是a的逆元，同理有b?be?b?ac???ba?c?ec?c 故a有唯一的逆元。
16、设R是环，则?a,b?R，有(?a)b?a(?b)??(ab)。
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答：由(?a)b?ab?(?a?a)b?0?b?0，得
?(ab)?(?a)b，
同理，由a(?b)?ab?a(?b?b)?a?0?0，得
?(ab)?a(?b)。
?117、设H是G的子群，若对于?a?G，?h?H，有aha?H，则H是G的不
变子群。
?1答：任取定a?G，对于?ah?aH，由于aha?H，则存在h1?H，使得
aha?1?h1?ah?h1a?Ha?aH?Ha；
?1?1?1?1?ha?Ha，由于aha?ah(a)?H，故存在h2?H，使得
a?1ha?h2?ha?ah2?aH?Ha?aH。
因此，对于?a?G，有aH?Ha。故H是G的不变子群。
?a,b?G，18、如果G是半群，则G是群的充分必要条件是：方程ax?b和ya?b在G中有解。
?1?1?1ab,ba?G，分别代G?a?GGa答：必要性。因是群，则在中有逆元，则
入方程ax?b和ya?b，有
aa?1b?aa?1b?eb?b，ba?1a?ba?1a?be?b，
?1?1ab,ba即分别为方程ax?b和ya?b的解。
????????充分性。因G是半群，则是非空集合，取定a?G，则方程ya?a在G中有解e，即存在G中的元素e，使得ea?a。
下证e是G的左单位元。?a,b?G，方程ax?b和在G中有解c，即ac?b， 于是eb?e?ac???ea?c?ac?b，则e是G的一个左单位元。
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'''又?a?G，方程ya?e在G中有解a，即aa?e，得a是a的一个左逆元。从而
得G中的每一个元素a都有左逆元。故G是群。
19、证明R为无零因子环的充分必要条件是在环R中关于乘法右消去律成立。 答：设环R没有左零因子，则也无右左零因子。于是由ba?ca，得
ba?ca?(b?c)a，
当a?0时，由于R没有右零因子，得b?c?0，即b?c，R中关于乘法右消去律成立。
反之，若在R中关于乘法右消去律成立，如果a?0，有ba?0，即
b?a?0?0?a，右消去a得b?0，即R中非零元均不是右零因子，故R为
无零因子。
20、设R为交换环，a?R，Ia??x?Rax?0?，证明：Ia是R的理想。 答：（1）?a,b?Ia，则ax?0,bx?0，从而ax?bx?0，(a?b)x?0 即a?b?Ia。
（2）?a?Ia,?r?R，有ax?0，由于R为交换环，从而rax?r0?axr?0r?0，即ar,ra?Ia。 因此Ia是R的理想。
21、G=（z，+），对G规定结合法“?”
a?b?a?b?2 证明 (G,?)是一个群。
证明：\?\为G的一个二元运算显然，设a,b,c是G中任意三个元，
(a?b)?c?(a?b?2)?c?(a?b?2?c)?2
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=a?(b?2?c)?2?a?(b?c?2)?a?(b?c)。G中结合法\?\满足结合律。 又2?G 的逆元。
所以(G,?)是一个群。
22、设G是非Abel群，证明存在非单位元a,b，a≠b使ab=ba。
证：利用元素和它的逆可交换，或元素和它的幂可交换。但要求元素和它的逆（幂）不等。由于G是非Abel群，必有阶数大于2的元素a，因而a≠a-1，取b= a-1，则ab=ba。
，易知2是(G,?)的单位元。?a?G，直接验算得4?a是a在(G,?)中
23、设H≤G，a,b∈G，证明以下命题等价： （1）a-1b∈H,(2)b∈aH,(3)aH=bH,(4)aH∩bH≠?。 证本题主要熟悉陪集性质。用循环证法。
（1）=>（2）：a-1b∈H => a-1b=h => b=ah => b∈aH。 （2）=>（3）：b∈aH => bh∈aH => bH 属于aH，另一方面，
b∈aH => b=ah => a=bh-1 => aH属于 bH，综上得aH=bH。
（3）=>（4）：aH=bH 显然有aH∩bH≠?。
（4）=>（1）：aH∩bH≠? => 存在 h1,h2∈H 使 ah1=bh2 => a-1b= h1h2-1=> a-1b∈H 。
24、叙述群的定义。
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答：封闭律、结合律、有单位元、每元有逆元。
25、列出2个群的实例，其中一个是有限群，另一个是无限群。 答：加群Zn与Z。
26、整数环的商域（分式域）是什么域？ 答：有理数域。
27、证明有理数域不包含真子域。
答案：有理数域Q的任何子域F一定含单位元1，因此F包含整数环Z，而一个域含整数环Z则必含Z的分式域Q，因此F=Q
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