题8图 题9图
9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
（x，y）=??e?yf,0?x?y,?0,其他.
求边缘概率密度. 【解】fX(x)??????f(x,y)dy
????y?x =???xedy??e,x?0,?? ?0,?0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx
?y?y?x =???0edx??ye,y?0,?? ?0,?0,其他.
题10图
10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??cx2y,x2?y?1,?0,其他.
（1） 试确定常数c；
（2） 求边缘概率密度. 【解】（1）
??????????f(x,y)dxdy如图??f(x,y)dxdy
D =?1-1dx?124x2cxydy?21c?1. 得?c?214. (2) fX(x)??????f(x,y)dy
46
? ????121x2x2ydy???21x2(1?x4),?1?x?1, ?4??0,?8?0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx
?????y21x2ydx?75?y??y2,0?y?1, ?4??0,?2?0, 其他.11.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??1,y?x,0?x?1,?0,其他.
求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.
题11图
【解】fX(x)??????f(x,y)dy
? ??x???x1dy?2x,0?x?1,
??0,其他.?1???y1dx?1?y,?1?y?0,f??f(x,y)dx???Y(y)??????11dx?1?y,0?y?1,?y??0,其他.?所以
ff(x,y)??1,|y|?x?1,Y|X(y|x)?f(x)?? ?2xX?0,其他. 47
?1?1?y, y?x?1,?f(x,y)?1 fX|Y(x|y)???,?y?x?1,
fY(y)?1?y?0,其他.??12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大
的号码为Y.
（1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1） X与Y的联合分布律如下表 X Y 3 4 5 P{X?xi} 6 103 101 10 1 11 ?3C5100 22 ?3C51011 ?C31050 33 ?3C51022 ?C310511 ?2C5106 102 3 0 P{Y?yi} 1 103 10(2) 因P{X?1}?P{Y?3}?6161????P{X?1,Y?3}, 101010010故X与Y不独立?
13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 Y 0.4 0.8 X 2 5 8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 （1）求关于X和关于Y的边缘分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1）X和Y的边缘分布如下表? Y X 2 0.15 0.05 0.2 5 0.30 0.12 0.42 8 0.35 0.03 0.38 P{Y=yi} 0.8 0.2 0.4 0.8 P{X?xi} 48
(2) 因P{X?2}?P{Y?0.4}?0.2?0.8?0.16?0.15?P(X?2,Y?0.4), 故X与Y不独立.?
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
1??e?y/2,fY（y）=?2??0,y?0, 其他.（1）求X和Y的联合概率密度；
（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
y?1?2?1,0?x?1,?e,y?1,【解】（1） 因fX(x)??? fY(y)???2
0,其他;??0,其他.??1?y/2?e故f(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y)??2??0,0?x?1,y?0,其他.
题14图
(2) 方程a?2Xa?Y?0有实根的条件是
2??(2X)2?4Y?0
故 X2≥Y，
从而方程有实根的概率为：
P{X2?Y}?x2?y??f(x,y)dxdy
1?y/2edy002 ?1?2?[?(1)??(0)]
?0.1445.??dx?1x215.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服
从同一分布，其概率密度为
?1000?,x?1000,f（x）=?x2
?其他.?0, 49
求Z=X/Y的概率密度.
【解】如图,Z的分布函数FXZ(z)?P{Z?z}?P{Y?z} (1) 当z≤0时，FZ(z)?0
（2） 当0 1000z）(如图a) F106Z(z)???x2y2dxdy????yz106103dyz?103x2y2dx y?xz =????103106?z103?2?3?z?yzy?dy?2 题15图 (3) 当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b） FZ(z)???106??zy106y?xx2y2dxdy??103dy?103x2y2dx z =????103106?1103??y2?zy3??dy?1?2z ??1?1?2z,z?1,即 f?zZ(z)??,0?z?1, ?2?其他?0,.???12z2,z?1,?故 f?1Z(z)??,0?z?1, ?2?其他?0,.?16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4 求其中没有一只寿命小于180的概率. 只， 50