求一螺栓为不合格品的概率. 【解】P(|X?10.05|?0.12)?P??X?10.050.12? ??0.06??0.06
?1??(2)??(?2)?2[1??(2)]?0.045623.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}
≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】P(120?X?200)?P??120?160X?160200?160????????? ???40???????????40??????2???40??????1?0.8 故 ??401.29?31.25 24.设随机变量X分布函数为
F（x）=??A?Be?xt,x?0,(??0),
?0,x?0.（1） 求常数A，B；
（2） 求P{X≤2}，P{X＞3}； （3） 求分布密度f（x）.
?limF(x)?1【解】（1）由??x????A?1??xlim?0?F(x)?得?xlim?0?F(x)?B??1
（2） P(X?2)?F(2)?1?e?2?
P(X?3)?1?F(3)?1?(1?e?3?)?e?3?
(3) f(x)?F?(x)????e??x,x?0?0,x?0
25.设随机变量X的概率密度为
?x,0?x?1,f（x）=??2?x,1?x?2, ??0,其他.求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.
【解】当x<0时F（x）=0
当0≤x<1时F(x)??x??f(t)dt??0??f(t)dt??x0f(t)dt
26
x2 ??tdt?
02x当1≤x<2时F(x)??x??0f(t)dt
f(t)dt??f(t)dt??f(t)dt01x1x????1??tdt??(2?t)dt01
?1x23
2?2x?2?2x2??2?2x?1当x≥2时F(x)??x??f(t)dt?1
??0,x?0?x20?x?1故 F(x)???2,
?x2???2x?1,1?x?2?2?1,x?226.设随机变量X的密度函数为
（1） f(x)=ae??|x|,λ>0;
?bx,0?x?(2) f(x)=?1,?12,1?x?2,
?x?0,其他.试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）. 【解】（1） 由
????f(x)dx?1知1???ae??|x|dx?2a??e??xdx2a??0??
故 a??2
??e??x,x?0即密度函数为 f(x)????2????2e?xx?0当x≤0时F(x)??x??f(x)dx??x???2e?xdx?12e?x 当x>0时F(x)??x)dx??0?x??f(x??2e?xdx??x???02edx
?1?1??2ex 27
故其分布函数
?1??x1?e,x?0??2F(x)??
?1e?x,x?0??2(2) 由1?????f(x)dx??1bxdx?210?1x2dx?b2?12 得 b=1
即X的密度函数为
??x,0?x?1f(x)???12,1?x?2
?x??0,其他当x≤0时F（x）=0 当0 ??xdx?x20x2 当1≤x<2时F(x)??x??f(x)dx??01x1??0dx??0xdx??1x2dx ?32?1x 当x≥2时F（x）=1 故其分布函数为 ??0,x?0?x2,0?x?1F(x)???2 ?3?1?x?2?2?1x,?1,x?227.求标准正态分布的上?分位点， （1）?=0.01，求z?; （2）?=0.003，求z?，z?/2. 【解】（1） P(X?z?)?0.01 即 1??(z?)?0.01 即 ?(z?)?0.09 28 故 z??2.33 （2） 由P(X?z?)?0.003得 1??(z?)?0.003 即 ?(z?)?0.997 查表得 z??2.75 由P(X?z?/2)?0.0015得 1??(z?/2)?0.0015 即 ?(z?/2)?0.9985 查表得 z?/2?2.96 28.设随机变量X的分布律为 X Pk ?2 ?1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X2的分布律. 【解】Y可取的值为0，1，4，9 P(Y?0)?P(X?0)?15117??61530 P(Y?1)?P(X??1)?P(X?1)?1511P(Y?9)?P(X?3)?30P(Y?4)?P(X??2)?故Y的分布律为 Y Pk 0 1 4 9 1/5 7/30 1/5 11/30 29.设P{X=k}=( 1k ), k=1,2,?,令 2?1,当X取偶数时Y?? ?1,当X取奇数时.?求随机变量X的函数Y的分布律. 【解】P(Y?1)?P(X?2)?P(X?4)???P(X?2k)?? 29 ?(1)2?(1)4???(1)2k 222?? ?(1114)/(1?4)?3P(Y??1)?1?P(Y?1)?23 30.设X~N（0，1）. （1） 求Y=eX的概率密度； （2） 求Y=2X2+1的概率密度； （3） 求Y=｜X｜的概率密度. 【解】（1） 当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0 当y>0时，FY(y)?P(Y?y)?P(ex?y)?P(X?lny) ??lny??fX(x)dx 故 fdFY(y)11Y(y)?dy?yf1?ln2y/2x(lny)?y2πe,y?0(2)P(Y?2X2?1?1)?1 当y≤1时FY(y)?P(Y?y)?0 当y>1时FY(y)?P(Y?y)?P(2X2?1?y) ?P??X2?y?1???P???y?1y?1??2???X??22?? ? ??(y?1)/2?(y?1)/2fX(x)dx 故 fdF12??Y(y)?dyY(y)?4y?1??f???y?1?y?1??X??2???fX???2??? ????? ?121y?12πe?(y?1)/42,y?1 (3) P(Y?0)?1 当y≤0时FY(y)?P(Y?y)?0 当y>0时FY(y)?P(|X|?y)?P(?y?X?y) 30