布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.
（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；
（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）P(X?0)?e?32 (2) P(X?1)?1?P(X?0)?1?e?52
k2?k11.设P{X=k}=Ck, k=0,1,2 2p(1?p)m4?mP{Y=m}=Cm, m=0,1,2,3,4 4p(1?p)分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=【解】因为P(X?1)?5，试求P{Y≥1}. 954，故P(X?1)?. 99而 P(X?1)?P(X?0)?(1?p)2
4, 91即 p?.
3故得 (1?p)?2从而 P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?p)?465?0.80247 8112.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中
恰有5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,
??np?2000?0.001?2
e?225?0.0018 得 P(X?5)?5!13.进行某种试验，成功的概率为
31，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次44数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率. 【解】X?1,2,?,k,?
13P(X?k)?()k?1
44P(X?2)?P(X?4)???P(X?2k)?? 131313???()3???()2k?1?? 444444131??4? 41?(1)254
21
14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡
的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;
（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.
（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为
P(2000X?30000)?P(X?15)?1?P(X?14)
由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有
14?1??e?5(X?15)5kP?0.000069
k?0k!(2) P(保险公司获利不少于10000)
?P(30000?2000X?10000)?P(X?10)
10 ??e?55kk?0k!?0.986305
即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上?
P（保险公司获利不少于20000）?P(30000?2000X?20000)?P(X?5) ??5e?5 5k?0.615961k?0k!
即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%?
15.已知随机变量X的密度函数为
f(x)=Ae?|x|, ?∞ 求：（1）A值；（2）P{0 ????f(x)dx?1得 1???Ae?|x|dx?2????0Ae?xdx?2A 故 A?12. (2) p(0?X?1)?11?x1?12?0edx?2(1?e) (3) 当x<0时，F(x)??x1??2exdx?12ex 当x≥0时，F(x)??x1??2e?|x|dx??01xx1??2edx??02e?xdx ?1?1?x2e 22 ?1xe,??2故 F(x)???1?1e?x??2x?0 x?016.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为 100??,x?100, f(x)=?x2?x?100.?0,求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F（x）. 【解】 1001dx?. ?100x2328p1?[P(X?150)]3?()3? 32741122(2) p2?C3()? 339（1） P(X?150)?150(3) 当x<100时F（x）=0 当x≥100时F(x)? ? ??x??100f(t)dt f(t)dt??x100???xf(t)dt 100100dt?1? ?100t2x?100,x?100?1?故 F(x)?? x?x?0?0,17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数. 【解】 由题意知X~∪[0,a]，密度函数为 ?1?,0?x?a f(x)??a?其他?0,故当x<0时F（x）=0 当0≤x≤a时F(x)?当x>a时，F（x）=1 即分布函数 ?x??f(t)dt??f(t)dt??0xx01xdt? aa 23 ?0,?x?F(x)??,?a??1,x?00?x?a x?a18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测 值大于3的概率. 【解】X~U[2,5]，即 ?1?,2?x?5 f(x)??3?其他?0,P(X?3)??故所求概率为 5312dx? 3323202221p?C3()?C3 3()?3332719.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E().某顾客在窗口 等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等 到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】依题意知X~E()，即其密度函数为 x?1?5?e,x?0 f(x)??5?0,x?0?1515该顾客未等到服务而离开的概率为 x1?5P(X?10)??edx?e?2 105?Y~b(5,e?2),即其分布律为 kP(Y?k)?C5(e?2)k(1?e?2)5?k,k?0,1,2,3,4,5P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e)?0.5167?25 20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服 从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N（40，102），则 ?x?4060?40?P(X?60)?P?????(2)?0.97727 10??10 24 若走第二条路，X~N（50，42），则 ?X?5060?50?P(X?60)?P?????(2.5)?0.9938++ 4??4故走第二条路乘上火车的把握大些. （2） 若X~N（40，102），则 ?X?4045?40?P(X?45)?P?????(0.5)?0.6915 10??10若X~N（50，42），则 ?X?5045?50?P(X?45)?P?????(?1.25) 44?? ?1??(1.25)?0.1056 故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设X~N（3，22）， （1） 求P{2 ?0.8413?1?0.6915?0.5328??4?3X?310?3?P(?4?X?10)?P???? 22??2 ????7??7????????0.9996 ?2??2?P(|X|?2)?P(X?2)?P(X??2) 2?3?X?32?3??X?3???P???P????2?2??2?2?1??5??1??5? ?1???????????????1???? ?2??2??2??2??0.6915?1?0.9938?0.6977P(X?3)?P(X?33-3?)?1??(0)?0.5 22(2) c=3 22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品, 25