?P(X?,?1?X?1)?P(X?x,X??1)?P(X?x,X?1)?P(X?x,?1?X?1)?P(X?x,x??1) ?P(X?x|?1?X?1)P(?1?X?1)?P(X??1)
?x?15151???(x?1)?2881681 8当x=?1时，F(x)?P(X?x)?P(X??1)?故X的分布函数
x??1?0,?51?F(x)??(x?1)?,-1?x<1
8?16x?1??1,54. 设随机变量X服从正态分N（μ1,σ12),Y服从正态分布N(μ2,σ22)，且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小. (2006研考) 解： 依题意
X??1?1?N(0,1)，
Y??2?2?N(0,1)，则
P{X??1?1}?P{X??1?1Y??2?1?11}，
P{Y??2?1}?P{因为P{X??1?1}?P{Y??2?1}，即
?2??2}.
P{X??1?11?1?1}?P{Y??1?2?1?2}，
所以有
?1?1?2，即?1??2.
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习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与
出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： Y X 0 0 1 2 3 1 3 1113C1???? 322280 1 8110 21C3????3/8 22211110 ??? 2228
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： Y X 0 0 1 0 2 22C3?C23 ?4C7352C3?C1C1122?2 ?4C73522C3?C23 ?4C7353 0 C3C123?2 ?4C735C3C123?2 ?4C7350 1 0 C1C1C263?2?2 ?4C7351 352 P(0黑,2红,2白)= 4C2C22?2/C7?C1C2C163?2?2 ?4C735
3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
ππ??sinxsiny,0?x?,0?y?F（x，y）=?22
?其他.?0,求二维随机变量（X，Y）在长方形域?0?x?【解】如图P{0?X???πππ?,?y??内的概率. 463?πππ,?Y?}公式(3.2) 463ππππππF(,)?F(,)?F(0,)?F(0,) 434636
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?sinπ4?sinπ3?sinπ4?sinπ6?sin0?sinπ3?sin0?sinπ6
?24(3?1).
题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度
f（x，y）=??Ae?(3x?4y),x?0,y?0,?0,其他.
求：（1） 常数A；
（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由
??????????f(x,y)dxdy????-(3x?4y)0???0Aedxdy?A12?1 得 A=12? （2） 由定义，有 F(x,y)??y???x??f(u,v)dudv
?yy?(3u?4v) ????0?012edudv???(1?e?3x)(1?e?4y)y?0,x?0,??0,?0,其他(3) P{0?X?1,0?Y?2}
?P{0?X?1,0?Y?2}
??120?012e?(3x?4y)dxdy?(1?e?3)(1?e?8)?0.9499.
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,?0,其他.
（1） 确定常数k；
（2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有
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??????????f(x,y)dxdy??20?42k(6?x?y)dydx?8k?1,
故 R?
1? 8
（2） P{X?1,Y?3}? ?(3) P{X?1.5}???1313????f(x,y)dydx
x?1.5???13k(6?x?y)dydx? ?0?288f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy
D1 ?1.50dx?(4) P{X?Y?4}?X?Y?42??127(6?x?y)dy?. 2832f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy
4D24?x2 ??dx?012(6?x?y)dy?. 83
题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
?5e?5y,y?0,fY（y）=?
其他.?0,求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.
题6图
【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
?1?,0?x?0.2, fX(x)??0.2?其他.?0,而
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?5e?5y,y?0,fY(y)??
其他.?0,所以
f(x,y)XY,独立fXx(?f)Yy( )?1?5y ????5e?25e?5y,0?x?0.2且y?0,?0.2?? ?0,?0,其他.(2) P(Y?X)?f(x,y)dxdy如图y???x??25e?5ydxdy
D0.2x-5y
??0dx?25edy??0.2(?5e?5x00?5)dx
=e-1?0.3679.7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
F（x，y）=??(1?e?4x)(1?e?2y),x?0,y?0,?0,其他.求（X，Y）的联合分布密度.
【解】f(x,y)??2F(x,y)?x?y???8e?(4x?2y),x?0,y?0, ?0,其他.8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,?0,其他.求边缘概率密度. 【解】fX(x)??????f(x,y)dy
? =???x(2?x)dy??2.4204.8y??x(2?x),0?x?1, ?0,?0,其他. fY(y)??????f(x,y)d x?1 =???y4.8y(2?x)dx??2.4y(3?4y?y2),0?y???1,?0,?0,其他.
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