图乙中小球到达最高点时，若对上管壁压力为3mg，则管壁对小球作用力向下，有
v2
mg＋3mg＝m，得v＝4gr＝2gr；
r
若对下管壁压力为3mg，则管壁对小球作用力向上，有
mg－3mg＝－2mg，不成立，小球做圆周运动，合力应是向下指向圆心，即此种情况不成立，B正确．
图丙中ωb＝ωc，由a＝ω2r得ab∶ac＝1∶2，
v2
va＝vc，由a＝得aa∶ac＝2∶1，
r
可得aa∶ab＝4∶1，C正确．
A球做平抛运动，竖直方向上的分运动为自由落体运动；B球与A球同时开始运动，而B球的运动为自由落体运动，所以A、B应同时落地，D错误．
答案：ABC
12.如图所示，篮球绕中心线OO′以ω角速度转动，则( )
A．A、B两点的角速度相等 B．A、B两点线速度大小相等 C．A、B两点的周期相等
D．A、B两点向心加速度大小相等
解析：A、B两点共轴转动，角速度相等，故A正确．根据v＝rω得，A、
2π
B转动的半径不等，所以A、B的线速度大小不等，故B错误．根据T＝知，ω
角速度相等，则周期相等，故C正确．根据a＝rω2知，角速度相等，但A、B的转动半径不等，所以向心加速度大小不等．故D错误．故选A、C.
答案：AC 13．如图所示，长0.5 m的轻质细杆，一端固定有一个质量为3 kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为2 m/s.g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时，对杆的拉力大小是24 N
v2
解析：设小球在最高点时受杆的弹力向上，则mg－FN＝m，得FN＝mg
l
2v
－m＝6 N，故小球对杆的压力大小是6 N，A错误，B正确；小球通过最低点
l
v2v2
时FN－mg＝m，得FN＝mg＋m＝54 N，小球对杆的拉力大小是54 N，C错
ll
误，D正确．
答案：BD
14.横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如图所示．现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上．其落点分别是a、b、c.下列判断正确的是( )
A．图中三小球比较，落在a点的小球飞行时间最短 B．图中三小球比较，落在c点的小球飞行时间最短
C．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最大 D．图中三小球比较，小球飞行过程中的速度变化一样快
解析：小球在平抛运动过程中，可分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动，由于竖直方向的位移为落在c点处的最小，而落在a点处的最大，所以落在a点的小球飞行时间最长，落在c点的小球飞行时间最短，A错误，B正确；而速度的变化量Δv＝gt，所以落在c点的小球速度变化最小，C错误；三个小球做平抛运动的加速度都为重力加速度，故三个小球飞行过程中速度变化一样快，D正确．
答案：BD
三、非选择题(本题共4小题，共46分．把答案填在题中的横线上或按照题目要求作答．解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)
15．(8分)某物理小组的同学设计了一个粗测玩具小车通过凹形桥最低点时的速度的实验．所用器材有：玩具小车、压力式托盘秤、凹形桥模拟器(圆弧部分的半径为R＝0.20 m)．
B．小球通过最高点时，对杆的压力大小是6 N C．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24 N D．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54 N
图甲 图乙
完成下列填空：
(1)将凹形桥模拟器静置于托盘秤上，如图甲所示，托盘秤的示数为1.00 kg； (2)将玩具小车静置于凹形桥模拟器最低点时，托盘秤的示数如图乙所示，该示数为________kg；
(3)将小车从凹形桥模拟器某一位置释放，小车经过最低点后滑向另一侧．此过程中托盘秤的最大示数为m；多次从同一位置释放小车，记录各次的m值如下表所示：
2 3 4 5 序号 1 m/kg 1.80 1.75 1.85 1.75 1.90 (4)根据以上数据，可求出小车经过凹形桥最低点时对桥的压力为_________N；小车通过最低点时的速度大小为__________m/s(重力加速度大小取9.80 m/s2，计算结果保留两位有效数字)．
解析：(2)托盘秤示数为1.40 kg，注意估读．(4)凹形桥模拟器质量m1＝1.00 kg，则小车质量m2＝1.40 kg－1.00 kg＝0.40 kg；根据(3)中记录表格可得到小车经过凹形桥模拟器最低点时，托盘秤示数m的平均值为1.81 kg，则小车经过最低点时对桥的压力F＝mg－m1g，故压力为7.9 N，根据小车在最低点的受力，
m2v2
结合牛顿第二定律，有F－m2g＝，代入数据可解得v＝1.4 m/s.
R
答案：(2)1.40 (4)7.9 1.4
16．(8分)如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆细管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B，以不同的速率进入管内，若A球通过圆周最高点C，对管壁上部的压力为3 mg，B球通过最高点C时，对管壁内、外侧的压力均为0.求A、B球通过圆周最高点C点的速度大小．
解析：A小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力．
2vA
对A球：3mg＋mg＝m，解得：vA＝2gR.
Rv2B
对B球：mg＝m，解得：vB＝gR.
R
答案：2gR gR
17．(14分)小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示．已知握绳
3
的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g，忽略手的运动
4
半径和空气阻力．
(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2； (2)问绳能承受的最大拉力为多大？
(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？
解析：(1)设绳断后小球飞行的时间为t，落地时小球的竖直分速度为vy，根据平抛运动的规律有
水平方向：d＝v1t，
11
竖直方向：d＝gt2，vy＝gt，
42
gd
解得：v1＝2gd，vy＝，
2
所以小球落地时的速度大小为
52v2＝v2＋v＝ gd. 1y
2
(2)设绳能承受的最大拉力大小为FT，这也是小球受到绳的最大拉力大
3
小．小球做圆周运动的半径为R＝d，
4
2v1
根据牛顿第二定律，有FT－mg＝m，
R
11
解得FT＝mg.
3
(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳能承受的最大拉力不变，则
v23
有FT－mg＝m，
l8
解得v3＝ gl，
3
绳断后小球做平抛运动，竖直方向的位移为(d－l)，设水平方向的位移为x，飞行时间为t1，则有
12
d－l＝gt1，x＝v3t1，
2
l（d－l）
解得x＝4 ，
3
23d
当l＝时，x有极大值，此时xmax＝d.
23
511d23
答案：(1)2gd gd (2)mg (3) d
2323
18．(16分)如图甲所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的
小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ＝37°.已知小球的质量m＝1 kg，细线AC长l＝1 m，
32
B点距C点的水平和竖直距离相等(重力加速度g取10 m/s，sin 37°＝，cos 37°
5
4＝)． 5
图甲 图乙
(1)若装置匀速转动的角速度为ω1时，细线AB上的张力为零而细线AC与竖直方向的夹角仍为37°，求角速度ω1的大小；
50
(2)若装置匀速转动的角速度ω2＝ rad/s，求细线AC与竖直方向的夹
3
角；
(3)装置可以以不同的角速度匀速转动，试通过计算在坐标图乙中画出细线AC上张力T随角速度的平方ω2变化的关系图象．
解析：(1)当细线AB上的张力为零时，小球的重力和细线AC张力的合力
2
提供小球做圆周运动的向心力，有mgtan 37°＝mω1lsin 37°解得ω1＝
50g
＝ rad/s.
4lcos 37°
50
(2)当ω2＝ rad/s时，小球应该向左上方摆起．假设细线AB上的张力
3
2
仍然为零，则mgtan θ′＝mω2lsin θ′，
3
解得cos θ′＝，故θ′＝53°.
5
因为B点距C点的水平和竖直距离相等，所以θ′＝53°时，细线AB恰好
2mω2lsin 53°4
竖直，且＝＝tan 53°，说明细线AB此时的张力恰好为0，故此
mg3
时细线AC与竖直方向的夹角为53°.
50
(3)①当ω≤ω1＝ rad/s时，细线AB水平，细线AC上的张力的竖直
4
分量等于小球的重力，即Tcos 37°＝mg，
mg
解得T＝＝12.5 N；
cos 37°
②当ω1＜ω＜ω2时，细线AB松弛，细线AC上张力的水平分量等于小球做圆周运动需要的向心力，有Tsin θ＝mω2lsin θ，
解得T＝mω2l；