得
343?1?343?1?f10??1715Hzf?，01?????2143.75Hz
2?0.1?2?0.08??f?1715Hz时，管中传播的是一束沿z轴方向，波阵面为一维平面波的(0,0)次波。
22 当1000Hz当1715Hz?f?2000Hz时，管中传播的是沿x轴程一定夹角方向斜向传播，并经壁面不断反射而进行着的平面波(1,0)次高次波。
?0处声源的振速分布为u(t)?u0sin5-27 假设在一矩形管的管口z?lxxej?t，试求前三个简正波的声压振幅。
解：管中传播的波的形式为 在zpnxny?Anxnycoskxxcoskyyej(?t?kzz)
?0处，pnxny?Anxnycoskxxcoskyy ?0处，u(t)?u0sinlxly 又在z?lxxej?t
则
B00?1lxly??00u0sinly?lxxdxdy?2?u0 ； B10?lxly2?π???u0sinxcosxdxdy?0；
00lxlylxlx
2B01?lxly??0lx0u0sin?lxxcosπydxdy?0 ly又
Anxny??0kzBnxny
则 （1）对于(0,0)次简正波，cz?c0
pa00?Anxnycoskxxcosky?Anxnycos?1?c0πcnyπ??2?cnx?xcosy?A00?0B00?00u0
kz?lxlx （2）对于(1,0)次简正波，cz1()2?lx2202
pa10?A10cos?lxx??0?kzB10cos?lxx?0
（3）对于(0,1)次简正波，cz?1?c0πc1()2?ly2202
pa01?A01cos?lyy??0?kzB01cos?lyy?0
习题6
6-1 对于脉动球源，在满足kr0 <<1的情况下，如使球源半径比原来增加一倍，表面振速及频率仍保持不变，试问其辐射声压增加多少分贝？如果在kr0 <<1的情况下使球源半径比原来增加一倍，振速不变，频率也不变，试问声压增加多少分贝？
Aj(wt?kr)?0c0kr0uaj(wt?kr)解：点声源声压P? e?(kr?j)e02rr[1?(kr0)]（1）当kr02??1时，P?j?0c0kr02uar?jej(wt?kr)
球源半径比原来增加一倍，即P??0c0k(2r0)2uarej(wt?kr)?4j?0c0kr02uarej(wt?kr)?4P
???Pa?4Pa?Pe?4Pe
所以LP?20lg4PeP?20lge?20lg4 PrefPref故辐射声压增加了20lg4=12dB
（2）当kr0??1时，P??0c0r0uar?2ej(wt?kr)
球源半径比原来增加一倍，即P??0c0r0uarej(wt?kr)?2P
???Pa?2Pa?Pe?2Pe
所以LP?20lg2PeP?20lge?20lg2 故辐射声压增加了20lg2=6dB PrefPref6-2 设以离开脉动球源中心为r的地方作参考点，试求距离为2r，4r，10r等位置上的声压级之差等于多少分贝？观察者从距球心为1m及10m的地方，分别移动同样的距离Δr＝1m，观察到的声压级的变化相等吗？如果不等，问各等于多少？
解：距离脉动球源中心分别为r1、r2(r1 ?L?20log10pe1ppr?20log10e2?20log10e1?20log102r1prefprefpe2 (1) 当r1＝r，r2=2r时，ΔL=20log102=6dB； r2=4r时，ΔL=20log104=12dB； r2=10r时，ΔL=20log1010=20dB. (2) 当r2＝r1＋1，r1＝1时，ΔL=20log102=6dB； r1＝100时，ΔL=20log101.01=0.086dB。 6-3 已知脉动球源半径为0.01m，向空气中辐射频率为1000Hz的声波，设表面振速幅值为0.05m及声压级为多少？该处质点位移幅值、速度幅值为多少？辐射声功率为多少？ s，求距球心50m处的声压 解：球面波声压表达式为 p?Aj(?t?kx)e， r其中 A??0c0kr021?(kr0)2ua(kr0?j)?Aej?， A?1ua，??arctan()。 kr01?(kr0)2?0c0kr02代入数值计算得 A?0.037(Pa?m)，??79.65? pa?Ar?7.4?10?4Pa 求距球心50m处的声压 pe7.4?10?4声压级SPL?20lg?20lg?28.35(dB) ?2pref2?2?10pa速度幅值va??0c0位移幅值?a1?(kr)2?1.78?10?6(ms) kr?va??2.83?10?10(m) (kr0)21122?5辐射声功率Wr?Rrua??0c0Su?2.10?10(W) 0a2221?(kr0)6-4 空气中一半径为r0的脉动球源，辐射射声功率为多大？ fHz的声波，欲在距球心r的地方得到声压级Lp，问球源表面振速的幅值应为多少？辐 解：由 Lp?20log10pepref， 得 pe?pref?10ArLp20 则 pa?2pe?2pref?10Lp20 又 A??0c0kr02ua1?(kr0)2pa? ，（k??c0?2?fc0） par1?(kr0)2?0.19m/s vra??0c0kr02 W?2π2π2A?(rpa)2?3.04?10?4W ?0c0?0c06-5 设一演讲者在演讲时辐射声功率Wr众离开演讲者可能的最大距离。 ?10?3W，如果人耳听音时感到满意的最小有效声压pe?0.1Pa，求在无限空间中听 pe2解：辐射声功率Wr?4?r?0c02，代入数值得：10?30.12?4?r? 4152得：r?1.82(m)， 因此，最大距离为1.82m。 6-7 半径为0.005m的脉动球向空气中辐射f =100Hz时的声波，球源表面振速幅值为0.008m/s，试求辐射声功率。 2??0c0k2r0ua2??0c0k2r0ua2?2?解：平均辐射声功率w?A，即w?22?c?0c01?(kr0)1?(kr0)00由于kr0224242 ?w2??100r0??0.005?9.13?10?3??1 c03442所以w?2??0c0kr0ua?3.49?10?10（J） ?0.008ej2?100t，试问总辐射声功率为多少？与 426-8 设有两个半径为0.005m的脉动球中心相距15cm，两个球面振速均匀为u6-7题结果相比较，说明了什么？ 解：两个小球总辐射声功率 W?W1?W2??0c0S0(kr0)2(1?其中：r0sinkl2)ua?1.38?10?9(W) kl?0.005m，l?0.15m。 6-10 将频率为100Hz，辐射声功率0.1W的点声源放在宽广的水面附近的空气中，试求： (1) (2) 在离声源1km远处水面附近的声压； 离声源1km垂直高处的声压。 解：由(6-1-22)得W?W?0cc02?2A，则A??8.13Pa. ?0c02?pa?Ar?0.008pa. (1) 因为是宽广的水面，沿水面附近传播的声波不发生反射，离声源1km处点的声压为 (2) 水相对于空气是绝对硬边界，可以假设垂直入射到水面的声波发生全反射，且假设声源是很贴近水面的，则 pa?2Ar?0.163pa. 6-11 两个频率相同、源强分别为Q01和Q02的同相振动点声源相距l排列，如图6-11所示。证明离声源很远处的声压为 p?jk?0c0j(?t?kr)?cos?l?cos?le[(Q01?Q02)cos()?j(Q01?Q02)sin()] 4?r???0c0kr02A1j(?t?kr1)A2j(?t?kr2)解：在点P的声压有p?p1?p2? 其中Ai?e?eu(kr0?j)，i?1,2。 2ar1r21?(kr0)对两个点声源k0r??1，因此可得Ai??0c0kr02ua?j。 jk?0c0r02jk?0c0r02j(?t?kr1)p?ua1e?ua2ej(?t?kr2) （*） r1r2在离声源很远处，有r1?r??，r2?r?? 其中??lcos?2。 jk?0c0r02j(?t?kr)p?e(ua1ejk??ua2e?jk?) r1再将Q0?4?r02ua，k??p??lcos??代入（*）式得 jk?0c0j(?t?kr)?lcos??lcos?e[(Q01?Q02)cos()?j(Q01?Q02)sin()] 4?r??6-12 两个频率相同，源强分别为Q01和Q02的振动点声源相距l排列，如果令Q01结果与（6－2－3）式相同。如果令Q01解：（1）当Q01 ??Q02，即两个点源组成偶极子，证明所得的 ?Q02，即两个相等源强的同相点源，证明所得结果与（6－3－2）相同。 ??Q02时 llr??r?cos? ， r??r?cos?22 设点声源Ⅰ在 p处产生声压为p1，点声源Ⅱ在p处产生声压为p2，在点p得总声压为p。 ?l? l?t-k(r+cos?)??jkcos?A1j(?t?kr1)A1j?Aj(?t-kr)21?p1?e?ee2 ?e?r1r1r1其中 A1?2?0c0kr011?(kr01)2u1a(kr01?j) （kr01?1） 2?j?0c0kr01u1a?j??0c0k2Q01 (Q01?4?r01u1a) 4?l?l?t-k(r+cos?)?cos?A2j(?t?kr2)A2j?A2j(?t-kr)jk22?? p2?e?ee?er2r2r22?0c0kr02其中 A2?1?(kr02)2u2a(kr02?j) （kr02?1） 2?j?0c0kr02u2a?j?0c0k2Q02 (Q02?4?r02u2a) 4?llcos?cos?A1j(?t-kr)?jk2A2j(?t-kr)jk2 e?ee?p?p1?p2?er1r2 ?ck(?j00Q01ej?4?r?Aj?e(rt-kr)l?jkco?st-kr)2??e??ejkl2c?os?? （r01?r，r02?r，Q01??Q02） ? kl(?2jsin(2c?os （其中))A?j?0c0k2Q01?j?0c0kr01u1a） 4?（2）当Q01?Q02时 llcos?cos?A1j(?t-kr)?jk2A2j(?t-kr)jk2 p?p1?p2?ee?eer1r2 ?ck(?j00Q01ej?4?rl?jkco?st-kr)2??e??ejkl2c?os?? （r01?r，r02?r，Q01?Q02） ?