棒作横振动的总位移位为：?(t,x)???????Acoshx?Bsinhx?Ccosx?Dsinx?cos(?t??) （7） ???????把（1）、（2）代入（7）得
A??C,B??D
则 ?(t??,x)??A(coshx???cosx???B)(si?nxh????? s（sxin??)t?co(8）
??)把（5）、（6）代入（8）得
?0??????A(coshx?cosx)?B(sinhx?sinx)cos??x???????l???????A(coshx?cosx)?B(sinhx?sinx)?(?sin?)?0 ???????即
sin??0即??n?
?????x?cosx)?B(sinhx?sinx)?0x ????l?? ?(t,x)?0xcos(?t?n?)
A(coshl2-16 长为l的棒两端自由，求棒作横振动的频率方程。 解：棒作横振动的位移方程为：?(t,x)?[Achwwwwx?Bshx?Ccosx?Dsinx]cos(wt??) vvvv??2??3??0,3?0???x2x?0?xx?0由边界条件得：?2，?A?C,B?D 3??????0,3?02??xx?l??xx?lwww?A(chl?cosl)?B(shl?sin?vvv?www?A(shl?sinl)?B(chl?cosvvv?要使方程有解，则
wl)?0vwl)?0v
chwwwwl?coslshl?sinlvvvvwwwwshl?sinlchl?coslvvvv=0
?chwwlcosl?1 vv2-17 长为l的棒两端钳定，求棒作横振动的振动频率方程. 解：由(2-2-57)式得棒的横振动一般表达式为 ?(t,x)??????Acoshx?Bsinhx?Ccosx?Dsin?????????x???x?0x?0?x?coswt(??) ????|x?0?0?其中???ck. 由棒两端钳定的边界条件得???|?0x?l??(1)
?0x?l(2)由(1)?A=－C B=－D
由(2)?????????A?sinhl?sinl??B?coshl?cosl??0
????????????????A?coshl?cosl??B?sinhl?sinl??0
????????????l?sinlcoshl?cosl?????0 这是一个二元一次方程组，若A，B为非零解，则它们的系数行列式应等于零，即
????coshl?coslsinhl?sinl???????l表示方程的一系列根，此时简正频率由此可化得coshl?cosl?1，这是一频率方程，可用图解法求解。设?n????sinhfn?ck2?n. 2?l22-19 已知铝能承受最大张应力为P，密度为?，如果现在用这种材料制成厚度为h的膜，试求膜能承受的最大张力为多少？如果将其绷在半径为r的框架上，试问这种膜振动的基频最高能达到多少？
解：膜能承受的最大的张力T?Ph，
当半径为r时，膜的基频达最大，大小为
f1?2.405T2.405Ph2.405P ??2?r?2?r?h2?r?2-21 求解周界固定的矩形膜作自由振动时的简正频率以及简正振动方式，如果膜的边长为1：2，试计算最小四个泛频与基频的比值。
?2??2?1?2?解：膜的振动方程为：???x2?y2c2?t2设：?(x,y;t) （*）
??a(x,y)ej?t??a(x,y)??a(x,y)?2 代入方程（*）得：???2?a(x,y) 22?x?yc2-23 设有一圆环形膜，其在外周r?a与内周r?b处固定，试证明该圆环膜自由振动的频率方程为
J0(?y)N0(y)?J0(y)N0(?y)?0 其中?y?ka，y?kb。
证明：圆环形膜的振动方程为：?(t,r)由外周r?R(r)ej?t 其中R(r)?AJ0(kr)?BJ0(kr)。
r?a?a与内周r?b处固定得边界条件 ??0，?r?b?0，
代入方程得
AJ0(ka)?BN0(ka)?0，AJ0(kb)?BN0(kb)?0，
?0。
?0 其中?y?ka，y?kb。
整理得 J0(ka)N0(kb)?N0(ka)J0(kb)从而可得该圆环膜自由振动的频率方程为 J0(?y)N0(y)?J0(y)N0(?y)
习题3
3-1 如图3-4-2所示的隔振系统，试画出其阻抗型类比线路图，并运用线路图来讨论此系统的隔振性能。
图 3-4-2
解：阻抗型类比线路图如（c）图所示。 下面分析一下系统的隔振性能，
利用克希霍夫电路定律，在Mm路径中有v?F1?Fj?Mm
在Mm后面的分支点有v?FF??j?CmF?RmF 11j?CmRm合并两式即得
F1?F?j?CmF?RmF
j?Mm经整理得
3-3 试画出如图(a)所示的弹簧并联相接的力学系统的导纳型类比线路图，并从线路图求出系统的等效弹性系统。
图 习题3-3
解：导纳型类比线路图如（b）图所示。
下面分析一下系统的隔振性能，
利用克希霍夫电路定律，在Mm路径中有v?F1?Fj?Mm
在Mm后面的分支点有v?FF??j?CmF?RmF 11j?CmRm合并两式即得
F1?F?j?CmF?RmF
j?Mm经整理得
3-5 试画出如图(a)所示力学系统的导纳类比线路图(力阻都忽略不计)。
图 习题3-5
3-7 (a)图中示意画出了自行车的简化力学模型，如果由于路面不平整，使一只轮胎得到一垂直方向的速度v该系统的导纳型力学类比线路图。
?vacos?t，试画出
3-9 有一简单的护耳罩结构如图(a)所示，耳罩与人头之间形成一体积为V的空腔，耳罩的质量为Mm，有效面积为S，它与人头
图 习题3-7
之间以弹性系数为Km的软垫接触，假设耳罩外有一声压为p的声波作用，在耳罩内产生的声压为pv，试求出耳罩的传声比
pvp，并
分析护耳罩的传声规律。
图 习题3-9
3-11 有一耳机，其振膜的固有频率原设计在
f1，测试时将耳机
压紧在一个模仿人耳体腔体积有效质量为m，有效面积为
为V的小盒子上进行，如图所示。求这时系统的固有频率，设振膜
S。
3-14 试画出如图(a)所示带通声滤波器的类比线路图，并求出其截止频率。
图 习题3-11
图 习题3-14
3-16 如图为一压强式电容传声器结构示意图，背
电极上打有许多小孔，构成声
阻尼元件Ma1，Ra1，试画出其类比线路图。
3-18 号筒式扬声器的简单结构如图(a)所示，有作用在振膜上，振膜的质量、力顺及面积分别为Mm，Cm室和后室的声容，S0为号筒吼部面积，假设已知吼部的
图 习题3-16 动圈式换能得到的交变力F和S，Ca1和Ca2分别为前声
辐
射
阻
抗
为
Rra??0C0S0，试画出号筒式扬声器的类比线路图。
图 习题3-18