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www.jyeoo.com 点评： 本题综合考查了解直角三角形和扇形的面积计算的能力． 26．（8分）（2002?山西）如图，有一破残的轮片，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件．请你根据所学的有关知识，设计两种方案，确定这个圆形零件的半径．
考点： 作图—应用与设计作图． 专题： 方案型． 分析： 可在弧上任选两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，交点即为圆心；或者量出弧上任意一段弦的长度，作出这条弦的垂直平分线，再量得弓形高，利用相交弦定理求得半径长． 解答： 解：方案1：在弧上任取三点A，B，C，连接AC，BC，分别做AC，BC的中垂线交于点O，OA长就是所求的半径． 方案2：量出弦AC，弓形高DE长，设半径为r，由相交弦定理得（AC）=DE×（2r﹣DE）求得r即可． 2 点评： 用到的知识点为：弦的垂直平分线经过圆心；做弦心距利用相交弦定理是常用的辅助线方法． 27．（6分）（2002?山西）某中学为了了解全校的耗电情况，抽查了10天中每天的耗电量数据如下表：
93 102 113 114 120 度数（度） 90 1 2 3 1 2 天数（天） 1 （1）写出上表中数据的众数和平均数； （2）由上题获得的数据，估计该校一个月的耗电量（按30天计算）；
（3）若当地每度电的价格是0.5元，写出该校应付电费y（元）与天数x（x取正数，单位：天）之间的函数关系式． 考点： 加权平均数；根据实际问题列一次函数关系式；用样本估计总体；众数． 专题： 应用题． 分析： （1）找出出现次数最多的数即为众数，利用加权平均数即可算出每天的平均用电量； （2）利用样本估计总体即可； （3）利用样本估计总体，y=0.5x?每天的平均用电量． 解答： 解：（1）由于113度在10天中出现了3次，故众数是113（度）． 平均数是（90×1+93×1+102×2+113×3+114×1+120×2）=108（度）． （2）估计该校一个月的耗电量为30×108=3240（度）．
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www.jyeoo.com （3）由于每度电0.5元，每天平均用电108度，故y（元）与天数x之间的函数关系式为： y=0.5×108x 即y=54x（x取正数，单位：天）． 点评： 本题考查了平均数、众数和中位数的概念．也考查了用样本估计总体和用一次函数解决实际问题． 28．（9分）（2004?云南）如图，已知MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB=400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题． 专题： 应用题． 分析： 问输水线路是否会穿过居民区，其实就是求A到MN的距离是否大于圆形居民区的半径，如果大于则不会穿过，反之则会． 解答： 解：不会穿过居民区． 理由是：过A作AH⊥MN于H，作BE∥MQ， ∵∠EBN=∠QMB=∠FMN=30°， ∴∠NMA=30°， 设AH=x，则BH=x， ∴MH=AH=x， ∵MH=BM+BH=x+400， ∴x=x+400， ∴x=200+200≈546.4＞500 ∴不会穿过居民区． 点评： 当两个直角三角形有公共的直角边时，利用这条公共边来求解是解决此类题目的基本出发点． 29．（11分）（2002?山西）已知：如图，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点M是O1O2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O1、⊙O2于B、C． （1）求证：AB=AC；
（2）若O1A切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为dl、d2，求证：d1+d2=O1O2； （3）在（2）条件下，若d1d2=1，设⊙O1、⊙O3的半径分别为R、r，求证：R+r=
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考点： 圆与圆的位置关系；三角形中位线定理；梯形中位线定理；垂径定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质． 专题： 证明题；压轴题． 分析： （1）作O1D⊥AB于点D，O2E⊥AC于点E，分别运用垂径定理得到BD=AD，AE=CE，易得AB=AC； （2）利用梯形中位线定理，即可O1D+O2E=2AM，d1+d2=O1O2； （3）根据相似三角形的性质，表示出d1=，d2=；再结合（2）的结论，进行证明． 解答： 证明：（1）分别作O1D⊥AB于点D，O2E⊥AC于点E． 则AB=2AD，AC=2AE． ∵O1D∥AM∥O2E， ∵M为O1O2的中点， ∴AD=AE，AB=AC． （2）∵O1A切⊙O2于点A， ∴O1A⊥O2A， 又∵M为O1O2的中点，O1O2=2AM 在梯形O1O2ED中， ∵AM为梯形的中位线，O1D+O2E=2AM， ∴O1D+O2E=O1O2， 即d1+d2=O1O2． （3）∵O1A⊥O2A， ∴∠AO1D=∠O2AE， ∴Rt△O1AD∽Rt△AO2E． ∴==， 即==． ∴AD?AE=d1?d2=1． 即由（1）（2）知，AD=AE=1，O1O2=d1+d2， ∴d1=，d2=， 22222∴R+r=O1O2=（d1+d2）=（+）=． ?2010-2013 菁优网
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www.jyeoo.com 点评： 解答此题要注意利用相交两圆的特点，作出辅助线．构造直角三角形和梯形，利用其性质建立起各量之间的联系． 30．（12分）（2002?山西）已知：抛物线y=ax+bx与x铀的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O为坐标原点．
（1）证明：△OAB为等边三角形；
（2）若△OAB的内切圆半径为1，求出抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△POB是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）根据直线OA的斜率不难得到∠AOB=60°，根据抛物线的对称性可知AB=OA，由此得证． （2）由于抛物线的开口方向不确定，因此分a＞0和a＜0两种情况求解．以a＜0为例说明： 可设三角形AOB的内心为I，过A作AC⊥OB，则I必在AC上，连接IO，在构建的直角三角形IOC中，∠IOC=30°，已知了IC=1，即可求出OC和IO的长，也就能求出B点和A点的坐标，然后将这两点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．（a＞0时，解法完全相同）． （3）如果△POB是直角三角形，那么如果过P作x轴的垂线，根据射影定理即可得出P点纵坐标绝对值的平方等于P点横坐标绝对值和P、B两点横坐标差的绝对值的乘积．然后联立抛物线的解析式即可求出P点坐标． 解答： （1）证明：作AC⊥OB于点C； ∵点A在直线y=x上，设A（x，x）． 在直角三角形OAC中，tan∠AOC===， ∴∠AOC=60° 由抛物线的对称性可知：OA=AB， ∴△AOB为等边三角形． （2）解：当a＜0时，设△AOB的内心为I，则∠IOC=30°，在直角三角形IOC中， ∵IC=1，OC=． ∴抛物线的对称轴x=﹣=， ∴a=﹣1，b=2． 2∴抛物线的解析式为y=﹣x+2
x．
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当a＞0时，同法可求，另一条抛物线的解析式为y=x2+2x． （3）解：易知：抛物线与x轴的两交点为O（0，0），B（﹣，0）． 且顶点A（﹣，﹣）在直线y=x上， ∴﹣=（﹣）， 解得b=2，b=0（舍去）． ∴B（﹣，0） 抛物线的解析式为y=ax2+2x． 假设存在符合条件的点P（m，n）． 过点P做PD⊥OB于D，则根据射影定理有： PD2=OD?BD； 由题意知：y=ax2+2x， ∴， 解得：， ， ∴存在符合条件的P点，且坐标为：P（，﹣）或（，﹣
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