目 录
摘要 ....................................................................................................................................... 2 Abstract . ................................................................................................................................ 2 一.德萨格(Desargues)定理及其证明 ................................................................................. 3 二.德萨格(Desargues)定理在初等几何中的应用 .............................................................. 9
(一).德萨格(Desargues)逆定理在证明共点问题上的应用 ........................................ 9 (二).德萨格(Desargues)定理在证明共线问题上的应用 .......................................... 11 (三)德萨格(Desargues)定理在求轨迹问题上的应用 ............................................... 14 (四)德萨格(Desargues)定理在作图方面的应用 ....................................................... 15 (五)德萨格(Desargues)定理在设计中学几何命题方面的应用 ............................... 15 三.总结 ................................................................................................................................ 16 参考文献 ............................................................................................................................. 18 致谢 ..................................................................................................................................... 19
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德萨格(Desargues)定理在初等几何中的应用
摘要： 德萨格定理在射影几何的基础里扮演着一个很重要的角色，而射影几何又是高等几何中的主要组成部分，因此德萨格定理亦是高等几何中的基础命题之一。德萨格定理主要研究的是三点共线或者三线共点的问题，而这个是初等几何中经常碰到的一类问题。用德萨格定理去解决此类问题及其派生出来的一系列相关问题，相对于初等的方法而言过程极其简便。因此，德萨格定理可以被应用到初等几何中的很多方面中去。并展示了高等几何在初等几何中的一些最根本的应用，全盘否决高等几何在初等几何中的无用之说。高等几何有助于我们更好地学习理解初等几何。由此体现了高等几何对初等几何的指导性意义。
关键字： 德萨格定理；高等几何；初等几；射影几何；指导性意义
The application of Desargues theorem in primary geometry
Abstract： Desargues theorem plays an important role in the foundation of projective geometry, then projective geometry is the major part of higher geometry, so Desargues theorem is also one of the basic propositions in higher geometry. Desargues theorem mainly investigates the problems about a total of three lines or three lines total points which are often seen in primary geometry. Comparing with primary methods, that using Desargues theorem to solve this kind of questions and some other related problems can make the process extremely simple. Therefore, Desargues theorem can be applied in many ways in primary geometry. It is also to show that some fundamental applications of higher geometry in primary geometry and to reject the view that higher geometry has nothing to do with primary geometry. The higher geometry is able to help us to study and realize the primary geometry better. Thus it points out the guidance of higher geometry in primary geometry.
Keywords：Desargues theorem；higher geometry；primary geometry；projective geometry guidance
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射影几何是高等几何中的主要组成部分，而德萨格(Desargues)定理则是射影几何中的基础定理之一，在射影几何中占有不可或缺的地位。发现德萨格(Desargues)定理的德萨格(Desargues)是17世纪法国著名的数学家，他1591年出生于法国里昂，1661年卒于同地。曾坐过牢，后来担任过法国军事工程师和建筑工程师。德萨格(Desargues)学习主要采取的是自学的方式，并主张学习了数学要把它用到实际中。德萨格(Desargues)奠定了空间射影概念的基础，使研究射影变换成为了可能，他的工作为射影几何打下科学的基础，在此方面具有创造性的成就，历史上把他当作这个学科的创始人。然而他的学术思想除了得到像笛卡尔，帕斯卡等少数人的欣赏之外，并没有广泛被人们所接受，直到1845年法国几何学家和数学史学家查理(Chasles)偶然得到他的著作的抄本，他的经典著作才为人们重视。究其原因，有两种说法：一是与他同期出现的解析几何更容易被接受；二是他的手稿晦涩难懂，并且引用了很多标新立异的名词，因此阻碍了他的学术思想的传播。他在射影几何中确立了很多重要的定理，其中以德萨格(Desargues)定理最为著名。德萨格(Desargues)定理能够使很多初等几何中的证明题的解法化难为易。下面就简单介绍其证明方法及其在初等几何中的一些应用。
一.德萨格(Desargues)定理及其证明
完整的德萨格(Desargues)定理的内容包括德萨格(Desargues)定理及其逆定理。 德萨格(Desargues)定理 如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一直线上。
德萨格(Desargues)定理的逆定理 如果两个三点形对应边的交点在一直线，则对应顶点的连线交于一点。
德萨格定理与其逆命题互为对偶命题。在射影几何中，存在重要的对偶原则，即：在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立。对偶原则是射影几何所特有的，在射影几何中占有重要地位，证明一个定理的同时，它的对偶命题也得到证明，起到事半功倍的作用。
注：在平面内不共线的三点，将其每两点连线所得到的图形叫做三点形；平面内不共点的三直线与其每两直线的交点所组成的图形叫三线形。其实，三点形和三线形是同一种图形，它们都含有不共线的三点，我们把它们叫做顶点，都含有不共点的三条直线，称作边。
定义1. 如果两个三点形的对应边交点共线，则这条直线叫做透视轴。如果两
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个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做透视中心。
德萨格(Desargues)定理是射影平面上的重要定理，也是基础定理之一，许多定理都以它为根据，它的证明方法也是多种多样的，下面重点介绍其四种常见的证明方法。
第一种证明方法
第一种证明方法用的是初等的证明方法。分别从两种情况考虑，一种是两个三点形是共面的情形，另外一种是两个三点形是异面的情形。异面的情况比较容易证明，只需利用线面关系，点线关系与点面关系，即可知三点同时落在两个平面的交线上，则命题得证。共面的情况稍稍复杂一些，需要借助已知平面外的一点再构造一个三点形，再根据线面关系，点线关系与点面关系，即可证三点就在已知平面与新构造的三点形所张成的平面的交线上。具体过程如下：
设有三点形ABC和A'B'C'，它们的对应顶点连线AA'，BB'，CC'交于一点O，其对应边的交点为BC?B'C'?X，CA?C'A'?Y，AB?A'B'?Z，证明：X、Y、Z在一直线上。
证明：下面分两种情况证明X、Y、Z在一直线上。
情况一：三点形ABC和A'B'C'分别存在于两个不同的平面?和?'上，如图1。
因为BB'?CC'?O，所以
B，C，B'，C'和O共面，二直线
BC和B'C'必相交，交点X在平面
?和?'的交线上。
同理，CA与C'A'相交，A'B'与AB也相交，且相应的交点Y、Z都
在二平面?和?'的交线上。
因此X，Y，Z三点共线。
情况二：三点形ABC和A'B'C'在同一平面?内。
如图2，通过O作不在平面?内的直线l，在直线l上任取两点L和L'，且不与
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O点重合。
因为AA'?LL'=O，所以A、A'、L、L'共面，L'A'与LA相交，记为
LA?L'A'?A''
同理，
LB?L'B'?B''
LC?L'C'?C''
三点形A''B''C''所在的平面与平面?不同(例如A''不在?内)。
由于三点形LBC与L'B'C'不同在一平面内，LL'，BB'，CC' 都通过点O，
BC?B'C'?X，CL?C'L'?C''，BL?B'L'?B''，由1可知X，C''，B''共线，也就是
说，X在平面A''B''C''所决定的平面内，但X在平面?内，则X在两个不同的平面
A''B''C''与平面?的交线上。
同理可证Y、Z也在平面?与平面A''B''C''的交线上，所以X、Y、Z都在平面?与平面A''B''C''的交线上，于是X、Y、Z共线。
第二种证明方法
第二种方法也用的是初等几何的方法，而且同样也是分成两种情况来证明，共面与异面的情况。与第一种方法相比，在证明共面的这种情况时，证法大同小异，但在证明异面的时候，方法大相径庭，仅用了梅涅劳斯定理及其逆定理(此定理是证明三点共线的其中一个著名的定理)，找到线段比值之乘积即可，不用再构造新的平面，牵扯到空间中的问题，只用在一个平面内就可将问题解决。过程与思路比第一种方法更明了。以下是具体过程：
(一) 预备知识
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