证明:如图9，任意四边形ABCD，H、E、F、G分别中点，P、Q分别是对角线AC，BD上的中点。
在三点形PEF与QGH中，HG//AC//FE，所以HG//FE；HQ//DC//FP，所以HQ//FP；PE//AD//QG，所以PE//QG.。
∴?PEF与?QGH对应边交点共无穷远直线，由德萨格(Desargues)定理的逆定理知其对应顶点的连线PQ，FH，EG共点O。
AAD、AB、BC、CD边上的
DHQGCPEOFB图9分析：在本题的解法中，我们选择的透视轴是一条无穷远直线，这种情况是时有发生的，因此我们要注意，在应用德萨格定理的逆定理证明时，在选取透视轴的时候不要忽略了无穷远直线。
(二).德萨格(Desargues)定理在证明共线问题上的应用
例4.已知三角形?ABC的三角平分线AD，BE，CF交于点O，设BC、EF交于L，CA、FD交于M，AB、DE交于N。试利用德萨格(Desargues)定理证明：三点N、L、M共线。
证明：如图10，在三角形?ABC与三
N角形?DEF中，因为对应顶点的连线AD，BE，CF交于点O，根据德萨格
AFODCEL(Desargues)定理：对应边的交点必定是
共
线
的
。
由
于
AB?DE?N，BC?EF?L，CA?FD?MB，所以N、L、M共线。
图10MMNAFEO
例5.已知三点形?ABC的三条高AD，BE交CF于点O，设DC交EF于L，CA交FD于
BD图11C11
LM，AB交DE于N。证明：三点N、L、M共线。
证明： 如图11，在三角形?ABC与三角形?DEF中，因为对应顶点的连线AD，BE，CF交于点O，根据德萨格(Desargues)定理：对应边的交点必定是共线的。由于
AB?DE?N，BC?EF?L，CA?FD?M，所以N、L、M共线。
例6.如图12，设O为?ABC内任意一点，连接AO、BO、CO并分别延长交对边于D、E、F,连接AD、BE、CF，求证：?ABC与?DEF相应对边的交点必共线。
证明：选取O为三点形?ABC与?DEF的透视中心，则由德萨格(Desargues)定理知，它们三对对边AB与DE，AC与DF，BC与EF的三个交点N、M、L共线。
M
N注:：本题是例4与例5 的一般情况，也就是当O点为?ABC内的
FAEO任意一点时该命题均成立。而例6、例7则是当O点处在?ABC内的特
BD图12CL殊位置时的情况，即：
1.当O是?ABC的三条高的交点(垂心)时，显然,，?DEF就成为
?ABC的垂足三角形，这两个三角形的三对对应边的交点必共线。
2.当O是?ABC的三条角平分线的交点(内心)时， ?ABC与?DEF三对对应边的交点也是共线的。
以上三道例题都是用德萨格定理证明的。从上述例题的证法来看，在利用德萨格定理证明一些简单的三点共线问题时，优先考虑从已知条件入手分析找寻两个恰当的三点形。
例7.设O1，O2，O3三个圆两两相交于
AA'、BB'、CC'，试证
ACBAB与A'B'，BC与B'C'，CA与C'A'三个交
ZO1XC'A'图13B'YO2O3点必共线.。 证明：
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第一种情况：当O1，O2，O3在一直线上时，则AA'//BB'//CC'，因此交点共无穷远直线，根据德萨格(Desargues)定理则有?ABC与?A'B'C'之三对对应边的交点在一直线上，即三圆圆心的连线上。如图13。 第二种情况：当O1，O2，O3不在同一直线上时，由平面几何定理知，三个圆相交，其三个公共弦必共交于一点O，该点称为根心，即AA'，BB'，CC'交于一点O。所以由德萨格定理知?ABC与?A'B'C'中既然有三对对应顶点的连线共点，则其三对对应边的三个交点必共线，如图14所示，X、Y、Z三点必在一直线上。
例8.三角形的垂心(三条高的交点)，重心(三条中线的交点)，外心(三条垂直平分线的交点)共线。(叫做Euler线)
已知：三角形?ABC，其垂心为H，重心为G，
AAO2BZC'O3A'CYB'XO1图14外心为O。求证：H、G、O共线。
证法1：
EHGBD图15OC思考方法：连接HG并延长与BC的中垂线交于O，连接OE，则只要能证明OE⊥AC即可。
因为BH⊥AC，所以只要证明BH//OE即可。为此需证明?HBG??GEO。这又需要证明
?BGH∽?EGO。
证明这两个三角形相似，利用角是不行的。因为另外两组角都是要证明的。所以我们考虑证明?BGH，?EGO的夹边成比例AG。
其中BG，EG在中线BE上，所以显然有
BG2HG2?。因此需证明?。这两EG1OG1边之比从?BGH，?EGO中是无法证明了，于是考虑以它们为边的另外两个三角形
?AHG与?DOG。这两个三角形由于AH//OD，可知是相似的，而另两边正好是中线
AD被重心所分成的两部分，所以
AG2HG2? ∴? 问题得到解决。 DG1OG113
证明：连接HG交BC的中垂线DO于O。连接OE，AH//OD ∴?AHG∽?DOG ∴
HG2BG2HGBG?。 又? ∴? ∴?BGH∽?EGO ∴?HBG??GEO。 OG1EG1OGEG∴BH//OE。 但 BH⊥AC， ∴OE⊥AC ∴O是?ABC的外心 ∴H、G、O三点共线。
证法2：在?ABH及?EDO中， ∵AB//ED，AH//EO，BH//DO。 即?ABH及?EDO三组对应边的交点共无穷远直线，根据德萨格(Desargues)定理的逆定理知：AE、BD、HO必交于一点。
但BD与AE为?ABC的两条中线， ∴其交点G必为?ABC的重心。 今H为
?ABC的垂心，O为外心，G为重心。 ∴H、G、O三点共线。
分析： 三角形“三心”共线问题是初等几何中非常重要而且有用的命题之一。证法1用的是初等几何的知识证明的，思考过程复杂，牵扯到两对三角形的相似，不易想到，但在证法2中应用德萨格(Desargues)定理的逆定理来证明，只需找到透视三角形，利用它们的透视轴无穷远直线即可证，思路清晰，简单而巧妙，大大简化了思考的过程。
(三)德萨格(Desargues)定理在求轨迹问题上的应用
例9.设有一变动三角形，其三边通过共线的三定点，其二顶点分别在二直线上移动，求第三顶点的轨迹。
ORDFEmCQPBnAt如图16，点P、Q、R是直线t上的三个定点， ?ABC是一变动三角形，顶点A、B分别在定直线m、n上移动，且m、n交于点O。 ?ABC的三条边AC、AB、CB的延长线分别通过R、Q、P。
求当顶点A、B分别在定直线上m、n上移动时，第三个顶点C的轨迹。
图16解：连接OC，设当A、B分别在m、n上移动到D、
E时，C移动到F，即三角形?ABC移动到三角形?DEF，AB交DE于Q，BC交EF于P，AC交DF于R，三点在定直线t上，由德萨格(Desargues)定理的逆定理可知：O、C、F共线.所以点F在直线OC上，即C点的轨迹是过O点的一直线。
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(四)德萨格(Desargues)定理在作图方面的应用
在现实生活中，我们往往会碰到这样的实际问题，比如说我们需要挖三条从陆地一直延伸到海底的隧道，其中一条隧道既要通过某个城市，又要与另外两条隧道交于一点。因为另外两条隧道的交点有可能在茫茫的大海之中，为了提高效率，并且减少施工上的麻烦，这时就需要制定一个切实可行的方法来修建这三条隧道。因此，我们可以将其转化成为一个数学问题，即有关不可到达的点和直线的作图问题。
例10.如图17，过定点P作一条直线，使通过两条已知直线
?，?的不可到达的交点。
作法：如图18，任取直线束S，设束中两条直线交?于A、
C，交?于A'、C'，连接直线PC，PC'分别交直线束S的
第三条直线于B，B'，在三点形ABC与三点形A'B'C'中，对应顶点的连线共点S，根据德萨格(Desargues)定理可知，其三对对应边的交点共线，即?，?的不可到达的交点与P
点，Q点共线，所以直线PQ为所求的直线。
从上述例题我们可知，德萨格定理不仅仅能证明三点共线及三线共点问题，像例9这类条件或题设中涉及三点共线或三线共点的题目也可以考虑用德萨格(Desargues)定理及其逆定理解决。但是像例10这类没有明显与三点共线或三线共点有关的实际问题，事实上是可以用德萨格(Desargues)定理去解决的，关键就在于自主构造这个定理所需要的条件，对于一些图形比较复杂的问题而言，亦须如此。这就要求我们必须对德萨格(Desargues)定理及其逆定理的构图特点进行熟练地掌握及灵活应用。
(五)德萨格(Desargues)定理在设计中学几何命题方面的应用
1.平行四边形是初等几何里一个非常基本而且简单的图形，在中学几何课本中是学习完平行性后才专门介绍它的。平行四边形的出现，根据它的两组对边平行且相等
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