第3章 系统运动学分析
机器人末端执行器以任意位姿运动都能到达的空间范围称为灵活工作空间；机器人能到达的所有空间范围称为可达工作空间。为了形象的说明工作空间与解存在的关系，以图3-9为例进行说明可达工作空间和灵活工作空间的概念。
图3-9两连杆操纵器 Fig. 3-9 Two links manipulator
如图3-9所示由连杆1和2组成的两连杆操纵器。如果两连杆长度都为L，则可达工作空间是R=2L的圆；灵活工作空间仅为单一的一个点——圆心。如果两连杆的长度不同且L1>L2，那么可达空间为R=L1+L2，r=L1-L2的圆环，而没有灵活空间。在可达工作空间内部的点，末端执行器有两个可能方位可以达到，而在其边界上的点只有一个可能的方位可达到。
当机械手自由度少于6时，它不可能在三维空间内获得一般的目标位形。上例为2个自由度的操纵器，它的工作空间只能在同一个平面内。即使有4个或5个自由度的机械手，它的工作空间超出了平间范围，它不能到达一般目标点。每一具体的机器人结构，它的工作空间对应一个子空间的子集。
2.多重解
如图3-10所示一个三连杆操纵器，初始位置处在A位置，而图3-11中的B位置是它能够到达的位置之一。可以看出，A位置到达B位置可以有两种不同的状态，这就是逆问题存在的多重解。当操纵器有多重解时，系统必须作出判断，根据特定的条件或限制，选择一个最接近解。本例中，操纵器有A位置达到B位置，最优选择应该是各关节运动量最小的接近解。当无障碍物时，即应选择1所示的位姿；而有障碍物时，选择接近解1位置，必然会发生碰撞现象，所以，选择时要考虑碰撞的问题，那样就选择满足条件的解，即2位置，如图
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3-11所示。
图3-10三连杆操纵器初态 图3-11三连杆操纵器末态 Fig. 3-10 Three links manipulator initial state Fig. 3-11 Three links manipulator final state
3.解算方法
对于非线性方程的解法，没有固定的方法或算法。不过求解过程中也会有一些针对具体问题的灵活解法。求解非线性问题，通常有解析法与数值法两种方法。数值解一般情况下计算量比较大，属于纯数学的计算。按可能性定义在运动学方面的一个重要结论是：所有具有转动和移动关节的系统，在一个单一联莲中总共有6个自由度时，是可解的，其通解是数值解；只有在一些特殊（如有若干个相交的关节轴或者许多个αi等于0或90度）的情况下，具有6个自由度的机器人可得到解析解。为了使操纵器有解析解，一般在设计时，使工业机器人足够简单，尽量满足这些特殊条件。 3.5.2 解析算法
由于工业机器人IRB2400的连杆转角为0°或?90°，所以适合用解析法求解其运动学逆运算。大致过程：求解?1时，用矩阵0T?1左乘等式 10612345T?0T2T3T4T5T6T (3-28) 1两边，得到
0?1016T12345T?2T3T4T5T6T (3-29)
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第3章 系统运动学分析
方程左右都展开并写成矩阵的形式，让左右两边的四阶方阵对应项相等，可求出
?1的解析解。以此类推，便可求出其余各解。现以课题所使用的工业机器人
ABB IRB2400为例，讨论解析解的具体解算步骤。
根据公式(3-18)得，
?nx?ny0012345??T?TTTTTT6123456?nz??0左乘0T?1，得 10?1016oxoyoz0axayaz0px?py?? (3-30) pz??0?
T12345T?2T3T4T5T6T (3-31)
x其中位姿矩阵06T已知，由位姿广义坐标?1Tx2Tx3?x6?给出，需要求的是
T关节广义坐标?q1q2?q6????1?2??6?。即得：
?cos?1?sin?1??0??000?10?sin?1cos?1000?0??d1??1??1?nx?n?y?nz??0oxoyoz0axayaz0px?py???1T (3-32)
6pz??0?由式(3-31)知，
?1nx?1ny112345??T4T5T6T6T?2T3?1nz???011ox11axoy1oz0ay1az0px??1py? (3-33) 1?pz?0??1所以式(3-33)是一个不包含?1的矩阵，其各项的值在运动学正解中已求出。于
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是，有
?1?cos?1?sin?1?00?sin?1cos?10?0???nx?n?yoxoyaxaypx??1nx?1py????ny111ox11axoyay11px??1py? (3-34) 11??0?10d1??ozazpz??0001???nzozazpz???0000???nz??0000???令等式(3-35)两边的(2,4)元素相等，得出
-s1px?c1py?d2 利用三角代换，令
??px??cos??px??sin? 式(3-25)中：??p2x?p2y,??arctg(px,py)。
把式(3-37)代入式(3-36)，得到
??sin(???d2?1)??? ?2?cos(????)??1?d21?2于是，可求出
????dd2?1?arctg?2?,?1?22? ?????所以
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(3-35)
(3-36) (3-37) (3-38)
第3章 系统运动学分析
?1?arctgpypx222?arctgd2,?px?py?d2?k?,k?0,?1,…?? (3-39)
在末端位姿给出的情况下，可以根据关节角?1的范围确定k的值，进而得到
?1的值。事实上，令等式(3-23)两边对应项相等，可以得出12个方程，经化简，
可以得到6个独立方程，可以解得?1～?6的各关节角度，结果分别为：
?2?arctgpxc1?pys1pz?k?,k?0,?1,… (3-40)
?3?arctga3??arctg?k?,k?0,?1,… (3-41)
222d4?a3?d4??
2222a12?a2?pz?a3?d4其中，??
2a2
?4?arctg?axs1?ayc1axc1c2?ays1c2?azs2?k?,k?0,?1,… (3-42)
?5?arctg[(axc1?ays1)c2?azs2]c4?(?axs1?ayc1)s4(axc1?ays1)s2?azc2?k?,k?0,?1,… (3-43)
?6?arctg(?s6)?k?,k?0,?1,… (3-44) c6式(3-39)到(3-44)列出了逆运动学的解析解表达式，为后面轨迹规划做准备。解的过程中，会出现多重解的情况，可以根据各关节角的范围进行舍取。
3.6 本章小结
首先说明了运动学分析的重要性和连杆坐标系的常用算法，陈述了其基本的数学描述；针对研究的工业机器人IRB2400建立了关节空间坐标系，并列出各个连杆的参数，求解了其基本的变换过程，在此基础上，求出各连杆间的相对变换齐次坐标矩阵，进而求出了运动学的正、逆解问题。运动学逆解表达式的求
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