第1章 绪论
拓扑学起初叫形势分析学，是赖布尼茨1679年提出的名词．随后波兰学派和苏联学派分别对拓扑空间的基本性质，（如分离性，紧性，连通性等）做了系统的研究．1847年利斯廷提出拓扑学的概念，这是拓扑学发展的萌芽阶段．
拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支．一个分支是偏重与代数方法来研究的，叫做代数拓扑学．另一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学．其中点集拓扑学是现代数学的重要分支,它是研究空间结构及空间图形在连续形变下保持不变的性质。在本篇文章中主要针对点集拓扑中的可数性与分离性相关理论进行探讨．在第2章中主要针对第一第二可数性公理，Lindeloff空间和可分空间相互蕴涵关系，以及各空间是否存在遗传性，有限可积性，拓扑不变性等性质做了研究．在第3章中主要针对T0、T1、T2、正则、正规、T3、T4、完全正规和完全正则空间的相互蕴涵关系，以及各空间是否存在遗传性，有限可积性，拓扑不变性等拓扑性质做了研究．通过文章中对拓扑空间中这些问题的探讨，对我们了解拓扑空间中关于可数性与分离性公理的性质以及各空间的相互蕴涵关系有一定的帮助．
第2章 可数性公理
2.1 第一第二可数性公理
ⅰ 可数性公理的相关定义
定义 设X是一个集合，?是X的一个子集族．如果?满足下列条件： ⑴ X，?∈?；
⑵ 若A，B∈?，则A∩B∈?； ⑶ 若?1??，则?A??1A??， 则称?是X的一个拓扑．
如果?是集合X的一个拓扑，则称偶对(X,?)是一个拓扑空间，或称X是一个相对于拓扑?而言的拓扑空间；本文中约定?是一个拓扑则可称集合X是一个拓扑空间．此外?的每一个元素都叫做拓扑空间(X,?)（或X）中的一个开集． 定义2.1.1 某拓扑空间的一个基或在某一点的一个领域基，如果是一个可数族，我们则分别简称之为一个可数基和一个可数领域基．
定义2.1.2 一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间或简称为A2空间．
定义2.1.3 拓扑空间的某种性质称为可遗传性质，如果一个拓扑空间具有这个性质那么它的任何一个子空间也都具有这个性质．
定义2.1.4 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基,则称这个
拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为A1空间． ⅱ A1、A2相互蕴涵关系
引理2.1.3 设x是一个拓扑空间x∈X,如果
?是X的一个基,则
?x?{B??x?B}是点x的一个邻域基．
定理2.1.4 每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理． 证明:设X是一个满足第二可数性公理的空间,
?是它的一个可数基,对于每
一个x∈X,根据引理2.1.3?x?{B??x?B}是点x处的一个邻域基,它是?的一个子族所以是可数族,于是X在点x处有可数邻域基?x．
定理2.1.4的逆命题不成立.因为任何一个离散空间显然满足第一可数公理,由于离散空间的每一个单点子集都是开集,而一个单点集不能表为异于自身的非空集合的并,因此离散空间的每一个基必定包含着它的所有单点子集.所以包含着不可数多个点的离散空间是不满足第二可数性公理的空间． ⅲ A1、A2拓扑性质
定理2.1.1 满足第二可数性公理的空间任何一个子空间是满足第二可数性公理的空间．
证：设X是一个满足第二可数性公理的空间，?是它的一个可数基．如果Y是X的一个子集，y∈Y，对于Y中的任何一个开集U，存在X中的一个开集V使得U＝V∩Y；存在?的一个子族?1使得V??B．因此U??(B?Y).
B??B??11由于上式中的每一个B∩Y是?︱Y中的一个元素，所以在上式中U已经表示成了?︱Y中的某些元素之并了，因此?︱Y是Y的一个基，它明显是一个可数族． 定理2.1.6 满足第一可数性公理的空间的任何一个子空间是满足满足
第一可数性公理的空间．
证明: 设x是一个满足第一可数性公理的空间, Y?X为X的一个子空间,y为Y中任一点即y∈Y.由于X是满足第一可数性公理的空间,故y处有可数邻域基?如果U是y在Y中的一个邻域,则存在y在X中的一个邻域V,使得U=V∩Y,于是存在V1∈?y使得V1?V.从而V1∩Y是y在Y 中的一个邻域,并且V1∩Y? V∩Y=U.其中V1∩Y∈?yY,所以?yY是y在Y中的一个邻域基.明显
?yY是一个可数族．
定理2.1.2 设X1,X2,?,Xn是n个满足第二可数性公理的空间，则积空间
X1?X2???Xn满足第二可数性公理．
证：假设已知拓扑空间的某一个性质P是一个拓扑不变性质．为了证明性质P是一个有限可积性质我们只要证明任何两个具有性质P的拓扑空间的积空间也是具有性质P的拓扑空间．所以我们只要对于n＝2的情形加以证明．设
X1和X2都满足第二可数性公理的空间，?1和?2分别它们可数基，?1、?2分
别为X1、X2的拓扑，令?如记积拓扑的定义中的积拓扑的那个基，为了证明
~??{B1?B2Bi??i,i?1,2}是积空间X1?X2的一个基，只需证明?中的每一
~个元素均可以表示为?中的某些元素的并，为证此设U1?U2∈?，其中U于是U1?U2＝（Ui??Bi??iBi．
i∈
?i（i＝1，2）．由于?i是?i的一个基，故对于每一个i，存在?i??i，使得
~~中?=｛B1?B2Bi∈?i, i=1,2｝??．所以集族?=｛B1?B2Bi∈?i, i=1,2｝
是积空间X1?X2一个基,它明显是一个可数族.
定理2.1.5设X1,X2,?,Xn是n个满足第一可数性公理的空间，则积空间
X1?X2???Xn也满足第一可数性公理．
B1??i?B1）×(
B2??2?B2)=
1B1??1,B2??2?B?B2=
B1?B2???B1?B2其
证明:我们只要证明n＝2的情形.设x=（X1,X2）是积空间X=X1?X2的任意给定的一个点,因为X1,X2满足第一可数性公理,所以X1,X2处有可数邻域基
~?x1,?x2,因此??{B1?B2Bxi??xi,i?1,2}是x=（X1,X2）处的邻域基,由于
~?x1,?x2可数,因此?也可数.因此X= X1?X2满足第一可数性公理．
定理 设X和Y是两个拓扑空间, f:X→Y是一个满的连续开映射,如果
X满足第二可数性公理,则Y也满足第二可数性公理. 证明:设X满足第二可数性公理,
?是它的一个可数基,由于f是一个开映射,
~~??{f(B)B??}是Y中开集构成的一个可数族.只需证明?是Y的一个基.设U是Y中的一个开集,则ff?1?1(U)是X中的一个开集.因此存在?1??使得
~(U)=?B??1B.由于f是一个满射.我们有U=f(f?1(U))??B??1f(B)即U是B~中某些元素的并,所以B是Y的一个基.
定理 设X和Y是两个拓扑空间, f:X→Y是一个满的连续开映射,如果X满足第一可数性公理,则Y也满足第一可数性公理.
证明:设X满足第一可数性公理,任意的x∈X.故x有可数领域基?,由于f是
~~一个开映射, ??{f(B)B??}是Y中开集构成的一个可数族.下面证明?是Y的
一个领域基.设U是Y中的一个领域,则f?1(U)是X中的一个领域因为X满足第
?1一可数性公理,所以存在拓扑空间中的一个开集ff?1(V)使得x∈
(V)?1?f?1(U).因为f是一个满的连续开映射.所以有
?1f(f(U))?f(f(V))?~f(B),所以?为Y的一个领域基.
从以上几个定理我们可以看出拓扑空间满足第一可数性公理的空间或第二可数性公理的性质是可遗传的,是有限可积的,也是拓扑不变性质． ⅳ A1空间的一些其它性质
定理2.1.7 设X和Y是两个拓扑空间,其中X满足第一可数性公理, x∈X,则映射f:X→Y在点x∈X处连续的充分必要条件是:如果X中的序列｛x1｝收敛于x,则Y中的序列｛f(x1)｝收敛于f(x1).
证明:必要性 设f在点x处连续,｛x1｝i?Z? 是X中的一个收敛于x1的序列.如果U是f(x)的一个邻域,则f＞M时有x1∈f?1?1(U)是X的一个邻域,这时存在M∈Z+使得i(U),从而f(x1)∈U.
?1 充分性 假设映射f不连续,即f(x)有一个领域V,使得f(V) 不是
x的领域,则x的任何一个领域U都不能包含在中,即对于x的任何一个领域U,包
含关系U= f?1(V)不成立.也就是说f(U) ∩V'≠?,由以上知, f(x)有一个领
域V使得对于x的任何一个领域U有f(U)∩V'≠?.设{ui}i?Z?是点x处的一个可数领域基,满足条件:对于每一个i∈Z+,Ui?Ui?1选取xi?Ui使得f(xi)∈f(U)∩
V'即f(xi)?V．明显的,序列｛xi｝收敛于x,然而序列｛f(xi)｝在f(x)的领域
V中却没有任何一个点,所以不收敛于f(x),这与反证假设矛盾.因此反证假设不成立,所以映射f在点x处连续.
定理2.1.8 设X和Y是两个拓扑空间,其中X满足第一可数性公理,则映射｛xi｝收敛于x∈f:X→Y是一个连续映射的充分必要条件是:如果X中的序列
X,则Y中的序列｛f(xi)｝收敛于f(x).
证明:只需证明映射f连续当且仅当对于每一点x∈X,映射f在点x处连续. 充分性 设对于每一点x∈X, 映射f在点x处连续.如果U?Y是一个开集,则对于每一点x∈f一点x∈f?1?1(U).集合U是f(x) ∈U的一个领域.因此对于每
?1(U),f?1(U)是x的一个领域,因而f(U)是一个开集,所以f连续.
必要性 设映射f连续, x∈X.如果U是f(x)的一个领域,则存在开集V使得f(x)∈V?U,于是x∈ff?1?1(V)?f?1(U),其中f?1(V)是一个开集,从而
(U)是x的一个邻域,这证明f在点x处连续.
2.2 Lindeloff空间
ⅰ 定义
定义2.2.1 设X是一个Lindeloff空间，如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindeloff空间. ⅱ A1、A2与Lindeloff空间的关系
定理2.2.1(Lindeloff定理) 任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeloff空间.
证明:设??{V?}??A是空间X的任意一开覆盖,?是X的可数基,因为每一个
V?(??A)是某些U∈?的并,所以存在?的子族??(????)覆盖X,对每一个U∈
??,选取V?使U?V?,这样得到的子覆盖???{V?V??U,U???}是可数的.证完.
注:第一可数空间与Lindeloff空间互不蕴涵.
① 一个第一可数空间,它不是一个Lindeloff空间.
设X为一个不可数集,在X上取离散拓扑,则X是第一可数空间,但它不是