Lindeloff空间.
② 一个Lindeloff空间,它不是第一可数空间.
设X为一个不可数集,在X上取有限补拓扑,即X的非空开集为X\\C,其中C为有限集.显然X是Lindeloff空间,然而, X不是第一可数空间.事实上,假如在点x∈
X存在可数的拓扑基,则必有含有点x的可数的开集族?x,使x的每个开领域包含某个B∈?x,因此
B??x?B?{x},从而得到X\\{x}=x\\?B??B??x(X\\B).因为每个
B??xX\\B为有限集,故X\\{x}为一个至多可数集,这与X为一个不可数集的条件发生矛盾.因此可知X不是第一可数空间.
ⅲ Lindeloff拓扑性质
令X=[0,1],以[0,1]及所有单点集{x}(x≠0)为领域基生成X上的一个拓扑.因X的任一开覆盖必含有[0,1],故X为一个Lindeloff空间,但子空间(0,1]为不可数的离散空间,故它不是Lindeloff空间.
注：包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindeloff空间.这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖,这个开覆盖没有任何可数子覆盖.
从上面例子我们可以看出Lindeloff空间性质是不可遗传的,但它对于闭子空间却是可遗传的,下面我们证明:
定理2.2.2 Lindeloff空间的每一个闭子空间都是Lindeloff空间.
证明:设Y是Lindeloff空间X的一个闭子空间, ?是子空间Y的一个开覆盖则对于每一个A??存在X中的一个开集UA使得,UA?Y?A,
于是{UAA??}?{Y?}是X的一个开覆盖,它有一个可数子覆盖,设为
{UA1,UA2,?}?{Y?}.这时易见,{A1,A2,?其中Ai??Ai?Y,i?Z?},便是?的一个
关于可数子空间Y的可数子覆盖.
推论2.2.3 ⑴Lindeloff空间的有限闭子空间的并为Lindeloff空间; ⑵Lindeloff空间的任意闭子空间的交为Lindeloff空间.
证明:⑴设yi(i?1,2,?n)为Lindeloff空间的闭子空间,则yi为Lindeloff空间,
?yi?1ni仍是Lindeloff闭子空间.由定理2.2.2得?yi也是Lindeloff空间
i?1n⑵设yi(i?1,2,?n)为Lindeloff空间的闭子空间,则yi为Lindeloff空间,
??yi?1?i是闭集,因此,
?yi?1i仍为Lindeloff空间
注: Lindeloff空间不是有限可集的.
设X是实数集?是所有半开区间?a,b??{xa?x?b}的族?为领域基的X上的拓扑.设{U?}是拓扑空间X的任意一个开覆盖,于是,对每一个有理数r?X,存在Ur?{U?},使得r?Ur,根据X上的拓扑?的定义,当r走遍有理数集时,相应的Ur所组成的可数族就覆盖了拓扑空间X.故X是Lindeloff空间
令Y=X×X,对每一点p=(x,y) ∈Y,点p的领域集为{s(p,?)},其中
s(p,?)是左下角为点p并以?＞0为边的半开正方形.令L={(x, y)︱y=-x},
则L是Y的闭子集.为证Y不是Lindeloff空间,我们只要证明Y的闭子空间L不是Lindeloff空间即可,但这是显然的,因为集族?s(p,?)是L的一个开覆盖,而它没
p?L有可数的子覆盖.所以Y不是Lindeloff空间.
定理2.2.4 X是Lindeloff空间, f:x→y是一个连续映射,则f(x)也是Lindeloff空间.
证明:设?是y的任意一个开覆盖,则A?{f?1(B)B??}是Lindeloff空间X的开覆盖,因它有可数子覆盖,即?的可数子族??使得A??{f?1(B)B???}覆盖X,故??是?的可数子覆盖,所以y也是Lindeloff空间.
推论2.2.5 X1?X2是Lindeloff空间,则X1,X2也是Lindeloff空间.
证明:定义映射Pi: X1?X2→Xi（i=1，2），显然它是一个连续映射,又因为
X1?X2是Lindeloff空间,由定理2.2.4得X1和X2也是Lindeloff空间.
2.3 可分空间
ⅰ 可分空间的相关定义
定义2.3.1 设X是一个拓扑空间，D?X，如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即D=X，则称D是X的一个稠密子集.
定义2.3.2 设X是一个拓扑空间,如果X中有一个可数稠密子集,则称X是一个可分空间.
ⅱ A2与可分空间的关系
定理 2.3.1 满足第二可数性公理的空间都是可分空间.
证明: 设?是空间X的可数基,对于每一个U∈?,任取点x∈U,则集
A?{xx?U,U??}是可数集.下证集A稠密于空间X,X?A是一个开集,不能包含基?中的任何非空元素,故是空集.
在前面我们知道,包含着不可数多个点的离散空间是不满足第二可数性公理的空间.同样包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分空间的.这是因为在这样一个拓扑空间中,任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间.
注: 可分空间与Lindeloff空间互不蕴涵.
⑴ 设X为一不可数集,并在X上取可数补拓扑,则X为一不可分的拓扑空间,
由于X的任一非空开集的补集是可数的,因而X是Lindeloff空间.
⑵设X为一不可数集,a∈X,我们规定X的开集为空集?以及含有点a的任意
子集.由于单点集{a}在X中稠密.故X是可分的,然而, X显然不是Lindeloff空间.
ⅲ 可分空间的拓扑性质
由于第二可数性公理是一个可遗传的性质,因此根据定理2.3.1我们可以得到以下推论:
推论2.3.2 满足第二可数性公理的空间的子空间都是可分空间. 定理2.3.3 可分空间的有限积空间仍为可分空间
证明: 因为Xi(i?1,2,?,n)是可分空间,存在Di?Xi,使得Di?Xi,并且Di是可数集.则
D?D1?D2???Dn?X1?X2??Xn.又因为
D?D1?D2???Dn?X1?X2??Xn.,而D又是一个可数集,所以积空间
X1?X2??Xn是一个可分空间.
定理2.3.4 可分空间的开子空间是可分空间
证明: 设Y为X的一个开子空间, D为Y的一个子集即D?Y,则D?X．因
~为X为一个可分空间,所以X中存在一个可数的稠密子集D,使得~~D?D?Y则有D?Y.因为D是可数集,则D也是可数的,所以Y是一个可分空间.
注: 存在某个可分空间的闭子空间,它不是可分的
例如,设X为一个不可数集,p∈X,令X的开集为空集?以及含有点p的任意子集.易见单点集{p}在X中稠密.因此, X是可分的,又, X\\{p}是X的闭子空间.因X不可数,故X\\{p}不可分.
例:设X和Y是两个拓扑空间, f:X→Y是一个连续映射,证明如果X是一个可分空间,则f(x)也是可分的.
证明: X是一个可分空间,则存在D?X,使得D?X且D是可数集,则
f?1(D)?X,f?1?1(D)?f(X).因为f:X→Y是一个连续映射,所以
?1f(f(D))?f(X),f(f(D))?f(f(X))即f(D)?f(X),f(D)?f(X)所以
f(D)是f(x)的一个稠密子集.又因为f是连续的, D是可数集,所以f(D)也
是一个可数集.
ⅳ 可分空间的一些其它其它性质
定理: 设X是离散空间,X是Lindeloff空间 ?X含可数多个点?X是可分空间.
证明:离散空间X的每个子集是开集,所以若X含有可数多个点则X一定是Lindeloff空间.反之,若X是Lindeloff空间,则所有单点集构成的X的开覆盖有可数子覆盖,所以X含有可数多个点.
若X含有可数多个点, X显然是可分空间.反之,若X是可分空间,则X的一个可数子集的闭集是X,因为离散空间任何子集的闭集时其本身,即X的一个可数子集是X,所以X含可数多个点.
定理2.3.5 每一个可分的度量空间都满足第二可数性公理
证明: 设(X,d)是一个可分的度量空间. D是X中的一个可数稠密子集.
1令??{B(x,)x?D,n?Z?},易见?是由X中的开集构成的一个可数族.设yn1∈X,U是y的一个领域,则存在k?Z?,使得B(y,)?U.由于D是X中的
k11一个稠密子集,所以B(y,)?D? ?,任意选取~y?B(y,)?D,如果
2k2k111,于是d(x,y)?d(x,~即x?B(~y,),则有d(x,~y)?y)?d(~y,y)?2k2kk111y?D,所以x?B(y,).因此,我们可以得到:B(~y,)?B(y,)?U.由于~k2kk1B(~y,)??.综合以上所说,我们证明了:对于任何y∈X和y的任何一个领
2k11y,)??使得y?B(~y,)?U所以?是X的一个基. 域U,存在某一个B(~2k2k根据定理2.3.5及推论2.3.2可得到下面推论:
推论2.3.6 可分度量空间的每一个子空间都是可分空间.
第3章 分离性公理
3.1 T0, T1, T2空间
ⅰ 定义
定义3.1.1(T0分离公理) 对拓扑空间X的不同两点X1,X2 ,存在其中一点的领域不包含另外一点(例如x1的领域U(x1)使x2?U(x1)).以上叙述称为T0 分离公理,满足T0 分离公理的拓扑空间称为T0 空间.
定义3.1.2(T1分离公理) 对拓扑空间X的不同两点X1,X2,存在点x1的领域U(x1)使x2?U(x1),点x2的领域U(x2)使x1?U(x2).以上叙述称为T1分离公理,满足T1分离公理的拓扑空间称为T1空间.
定义3.1.3(T2分离公理) 对拓扑空间X的不同两点X1,X2,存在点x1的领域U(x1),点x2的领域U(x2),使U(x1)?U(x2)= ?,以上叙述称为T2分离公理或Hausdorff公理,满足公理的空间称为T2空间或Hausdorff空间 ⅱ T0, T1, T2相互蕴涵关系
我们由T0、T1空间的定义知道T1空间当然是T0空间，但反之不然，例如：设X={a,b,c},规定X的开集为?,{a},{a,b},{a,c}和X,则X为一个拓扑空间.易见,
X是T0空间.因为对于点a,c而言,含点c的开集必含点a,所以X不是T1空间．
同样有定义可知T2空间一定是T1空间，反之不然，例如：设X是一个包含着无限多各点的有限补空间,由于X中的每一个有限子集都是闭集,所以它是一个T1空间.然而在拓扑空间X中任何两个非空的开集一定会有非空的交,这是因为X中每一个非空开集都是X中的有限子集的补集,而X又是一个无限集的缘故.由此可见X必然不是一个T2空间．
ⅲ 拓扑性质
定理: T1空间的每一个子空间都是T1空间
证明：设X是一个T1空间，Y是X的一个子空间.对于任意的x、y?Y,x?y,