又相对的开于S中,所以U与V是空间X的开集.又显然A?S∩A,因为,有
A?A;又A与B是隔离的,有A?S??A?(A?B)?A?B=?.由此可见, A?U.
同理B?V.
充分性 假定条件满足,令S为空间X的任意子空间,并令F1与F2是任意两个不相交的S的相对闭集.于是存在空间X的闭集F与G,使得F1=F∩S,
~F2=G∩S,因为F1?F,又F闭于X中,所以F1?F,又因为F∩F2=F∩(F2∩
S)= F2∩(F∩S)= F1∩F2= ?,所以F1?F2=?.同理F1?F2=?.因此, F1与F2是隔离的,条件既然满足,那就存在X的开集U1与U2使得F1?U1, F2U1∩U2= ?.因此, F1?S∩U1, F2??
U2,
S∩U2, (S∩U1)∩(S∩U2)=?.由此
可见,子空间S是正规的.因为S是X的任意子空间,所以拓扑空间X是完全正规空间.
推论3.3.4 拓扑空间X是完全正规的当且仅当对于X中任意隔离子集总存在它们的互不相交的领域.
定理3.3.5 每一个完全正则空间都是正则空间
证明: 设X是一个完全正则空间, x∈X,B是X中的一个不包含点x的闭集,则存在连续映射f:X→[0,1]使得f(x)?0和对于任何b∈B有f(b)=1,于是
11f?1([0,))和f?1((,1])分别是点x和闭集B的开领域,并且它们无交这表明X是
22一个正则空间.
定理3.3.9 每一个正则且正规的空间都是完全正则空间.
证明:设X是一个既正则又正规的空间.设x∈X,B是X中的一个不包含点x的闭集.由于X是一个正则空间,根据定理3.2.1,点x有一个开领域U使得
U?B?.令A=U则A和B是X中无交的两个闭集.由于X是一个正规空间,则存
在一个连续映射f：X→[0,1]使得对于任何y?A有f(y)?0和任何y?B有
f(y)?1.由于x∈A.故f(x)?1.这就证明了X是一个完全正则空间．
结论
文章中对于点集拓扑中关于可数性公理的相关理论的研究,我们可以得到一
下结论：
① A2空间分别蕴涵于A1空间、Lindeloff空间、可分空间中 ② A1空间、Lindeloff空间、可分空间互不蕴涵
③ A1空间、A2空间是具有可遗传性质的．Lindeloff空间和可分空间是不可遗传的，但Lindeloff空间对于闭子空间也是具有可遗传性质的．
④ A1空间、A2空间、可分空间都是有限可积性质的，而Lindeloff空间是不可积的．
⑤ A1空间、A2空间、Lindeloff空间、可分空间都是具有拓扑不变性质的． 对于点集拓扑中关于分离性公理的相关理论的研究，我们可以得到以下结论：
① T4空间一定是T3空间，T3空间一定是T2空间，T2空间一定是T1空间，T1空间一定是T0空间，T4空间一定是正规空间，T3空间一定是正则空间．
② T0、T1、T2、T3、正则空间是具有遗传性质的．正规空间、T4空间是不具有遗传性质的，但正规空间、T4空间对于闭子空间却是可遗传的．
③ T0、T1、T2、T3、正则空间是具有有限可积性质的．正规空间、T4空间是不具有有限可积性性质的．
④ T0、T1、T2、T3、T4、正则、正规空间具有拓扑不变性质．