因为Y是X的一个子空间,所以x、y?X.由于X是T1空间,所以在X中有x的开
~~~领域U使得y?U.令U?U?Y,则y?U,则U是x在Y的一个开领域.所以Y也是一个T1空间.
定理: T2空间的每一个子空间都是T2空间
证明: 设X是一个T2空间, Y是X的一个子空间.设x、y?Y,x≠y.首先在X中有x的开集A且A?Y?A1则y?A1,同理有y的开集B,使得x?B且
~B?Y?B1则x?B1.由于X是一个正则空间,所以A1、B分别在X中有开领域U~~~~~和V,使得U∩V=?.令U=U∩Y和V=V∩Y,它们分别是x、y在子空间Y中的开领域,显然U∩V=?.
定理:X1?X2??Xn是Hausdorff空间当且仅当每个拓扑空间
Xi{i?1,2,?,n}是Hausdorff空间.
??X1证明:我们只需证明n=2的情形.设X1?X2是Hausdorff空间,对于x1,x1?,x2)为X1?X2的不同点,有不相交领为不同的两点.任取x2?X2,则(x1,x2),(x1??U2?.容易看出,U1,U1?是x1,x1?在X1中的不相交领域,即X1是域U1?U2,U1Hausdorff空间.同理X2也是Hausdorff空间.
?,x2?)为X1?X2的两个不同点,反之,设X1,X2都是Hausdorff空间.(x1,x2),(x1?,使x1∈U1, ?,因为X1是Hausdorff空间,则有X1的不相交开集U1和U1不妨设x1≠x1?,x2?)的不相交领域,所以X1×X2是?∈U1?,因此U1?X2,U2?X2是(x1,x2) ,(x1x1Hausdorff空间.
定理 设X和Y是两个拓扑空间, f:X→Y是一个满的连续映射,如果X是T2空间,则Y也是一个T2空间.
证明:设x,y∈Y,x≠y, U、V分别是点x、y处的一个开领域.因为f:X→Y是一个满的连续的映射,所以在拓扑空间X中有,f?1(x)和f?1(y)分别有开
领域f?1(U), f?1(V),又因为X是T2空间,所以有f?1?1(U)∩f?1(V)=?.因f是满
的连续映射,所以f(f空间.
(U))?f(f?1(V)) = ?即U∩V=?. 所以Y也是一个T2我们从这个定理可以看出T2空间是一个拓扑不变的性质.与以上证法相似我们也容易证明T0空间和T1空间也是一个拓扑不变性质的. 定理3.1.3 T2空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点
证明: 设{xi}是T2空间中的一个序列,并且有limxi?y1和limxi?y2其中
i??i??y1?y2于是对于j=1,2,点yj有一个开领域Vj,使得V1?V2=?.故存在Nj＞0使
得当i?Nj时有xi?Vj.任意选取M?max{N1,N2}.可见xM?V1?V2,故V1?V2非空,这是一个矛盾.
定理3.1.1 下列论断等价: ⑴X是T0空间;
⑵ 对X的不同两点X1,X2 ,或者x1?{x2},或者x2?{x1}; ⑶ 对X的不同两点X1,X2具有不同的闭包{x1},{x2}.
证明: ⑴?⑵ 设x1?{x2}及x2?{x1}同时成立,则x1的任何领域包含x1 ,不满足⑴.
⑵?⑴ 设x1?{x2},则存在x1 的领域U(x1)使x2?{x1} ⑵?⑶ 显然
⑶?⑵ 设x1?{x2},x2?{x1}同时成立,亦即{x1}?{x2},{x2}?{x1},从而有
{x1}?{x2}?{x2}，同理{x2}?{x1},故有{x1}?{x2},不满足(3).
定理3.1.2 设X是一个拓扑空间,则以下条件等价: ⑴X是一个T1空间;
⑵X中每一个单点集都是闭集; ⑶X中每一个有限子集都是闭集.
证明: ⑴?⑵ 设x?X,当X是一个T1空间时,对于任何y∈X,y≠x,点y有一个领域U使得x?U,即U∩{x}=?,因此y?{x},从而{x}?{x}.这证明
单点集{x}是一个闭集.
⑵?⑶ 设{x1,x2,?,xn}是X的一个有限子集.当⑵成立时,我们有,
{x1,x2,?,xn}?{x1}?{x2}???{xn}?x1?x2???xn?{x1,x2,?,xn}即{x1,x2,?,xn}是一个闭集.
?{x1}?{x2}???{xn}⑶?⑴ 设x,y∈X,x≠y,当⑶成立时,单点集{x}和{y}都是闭集.从而{x}?和{y}?分别是y和x的开领域,前者不包含x,后者不包含y,这就证明了X是一个T1空间.
3.2 正则、正规、T3、T4空间
ⅰ 相关定义
定义3.2.1 设X是一个拓扑空间,如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开领域,它们互补相交(即如果x∈X和A?X是一个闭集,使得x?A,则存在x的一个开领域U和A的一个开领域V使得U∩V=?),则称拓扑空间X是一个正则空间.
定义3.2.2 设X是一个拓扑空间,如果X中的任何两个互不相交的闭集各有一个开领域并且这两个开领域互不相交(即如果A、B?X都是闭集,则存在A的一个开领域U和B的一个开领域V使得U∩V=?),则称拓扑空间X是一个正规空间.
定义3.2.3 正则的T1 空间称为T3空间,正规的T1 空间称为T4空间. ⅱ 正则、正规、T3、T4空间关系
我们由拓扑空间的定义可知T4空间是T3空间，但拓扑空间的正则性和正规性之间没有必然的蕴涵关系.如X={1,2,3}取?={?,{1},{2},{1,2},{1,2,3}}则
(X,?)是正规空间而非正则空间.但是我们不可能找到一个如此简单的正则而非
正规的空间.
定理 :设X是有限集,若(X,?)是正则空间,那么(X,?)是正规空间. 证明:设A,B是(X,?)的两个不相交的闭集,因为X有限,所以可以设
A?{a1,a2,?,an},因为(X,?)是正则空间,所以对ai(i?1,2,?,n)和B,有开集Ui、
Vi ,使ai∈Ui、Bi?Vi ,且Ui∩Vi=?.令U?U1?U2???Un，
V?V1?V2???Vn,则U、V为开集,A?U,B?V且
U?V?(U1?U2???Un)?(V1?V2???Vn) =[U1?(V1?V2???Vn)]∪…
∪[Un?(V1?V2???Vn)]? (U1?V1)???(Un?Vn)= ?,所以(X,?)为正规空间.
ⅲ 拓扑性质
定理 正则空间的每一个子空间都是正则空间
证明:设X是一个正则空间,Y是X的一个子空间.设y∈Y和B是Y的一个闭集使得y?B,首先,在
X~~中有一个闭集B使得B∩Y=B.因此y?B.由于X~~是一个正则空间,所以y和B分别在X中有开领域(对于拓扑空间X而言)U和
~~~~~V使得U∩V=?.令U=U∩Y和V=V∩Y.它们分别是y和B在子空间Y中开领域,显然U∩V=?.
定理 正规空间的每一个闭子空间都是正规空间
证明:设Y是正规空间X的一个闭子空间. A,B是子空间的闭集,则对于A、
~~~~~B也为X中的闭集,所以存在X中的一个开领域U、V,使得U∩V=?,令U=U~∩Y, V=V∩Y则U∩V=?所以Y是一个正规空间.
定理 T4空间的每一个闭子空间都是T4空间
证明: 设Y是T4空间的一个闭子空间,m、n是闭子空间Y中的任意点,其中
~m≠n,因为Y是T4空间的一个闭子空间,所以m对于T4空间有开领域U,使得~~n?U.令U?U?Y,则n?U,所以Y是T1空间.下证Y为正规空间: A、B是子空~间Y的闭集.因为A、B也为T4空间中的闭集,所以存在T4空间的一个开领域UA、
~~~~~VB使得UA∩VB= ?令UA=UA∩Y, VB=VB∩Y,它们分别是A、B在闭子空间
Y中的开领域,则UA∩VB = ?,所以Y为正规的.
定理 设X1,X2,?,Xn是n?1个正则空间,则积空间X1?X2???Xn也是正则空间.
证明: 我们只需证明n?2的情形.设x?(x1,x2)?X1?X2,集合U是x在
X1?X2中的一个开领域,则有x1在X1中的一个开领域U1和x2在X2中的一个开领域U2,使得U1×U2?U.由于X1和X2都是正则空间.故x1在X1中有一个开领域V1使V1??U1, x2在X2中有一个开领域V2使得V2??U2,于是V1×V2是x在
X1?X2中的一个开领域,并且V1?V2?V1??V2??U1?U2?U.这就证明了是一个正则空间.
这个定理说明正则空间具有有限可积性质.我们也容易证明T0,T1空间也具有有限可积性质.
定理： 设X和Y是两个拓扑空间,f：X→Y是满的连续映射，如果X是一个正则空间，则Y也是一个正则空间．
证明：设y?Y,闭集A?Y且y?A.因为f是一个满的连续映射,则在X中有
f?1(y)?X,f?1(A)?X.因为X是一个正则空间,所以在X中存在f?1(y)和
f?1~~~~(A)的开领域U和V,使得U∩V=?．因为f是一个满的连续映射,所以在Y中存在y、A的开领域U、V,使得U∩V= ?,所以Y也是一个正则空间．
定理： 设X和Y是两个拓扑空间, f：X→Y是满的连续映射,如果X是一个正规空间，则Y也是一个正规空间．
证明：A、由于f是一个连续映射则fB是Y中的两个闭集，是X中的两个闭集.由于X是一个正规空间,则f?1?1(A)和f?1(B)(A)和f?1(B)分别存在一个开
~~~~领域U和V.使得U∩V=?,由于f是满的连续映射,则在Y中存在A、B的开领域U、V使得U∩V=?,所以Y也是一个正规空间．
ⅳ 正则、正规、T3、T4空间其它性质
定理3.2.1 设X是一个拓扑空间,则X是一个正则空间当且仅当对于任何点x∈X和x的任何一个开领域U,存在x的一个开领域V使得V?U.
证明： 必要性 设X是一个正则空间，如果x∈X,集合U是x的一个开
领域,则U的补集U?便是一个不包含点x的闭集.于是x和U?分别有开领域U1和
?V1使得U1∩V1=?.从而U1?V1?,所以U1?V1??V1??U即U1??U.