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Http://www.jyeoo.com 点评：此题考查等腰三角形的性质，需分类讨论和计算，难度较大． 三、解答题（共50分）
21、在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程
的解，求实数k的取值范围．
考点：根与系数的关系；根的判别式；解分式方程。 专题：分类讨论。
2
分析：先把原方程化为2x﹣3x﹣（k+3）=0，一定是一个一元二次方程，在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，因而可能方程有两个相同的实根，求得即可进行判断；或解方程得到的两个根中有一个是方程的增根，
2
即x=1是方程2x﹣3x﹣（k+3）=0的解，即可求得方程的另一解，然后进行判断；或方程有两个异号得实数根；或其中一根是0，即可求得方程的另一根，进行判断．因而这个方程中再分四种情况讨论： （1）当△=0时；
（2）若x=1是方程①的根； （3）当方程①有异号实根时；
（4）当方程①有一个根为0时，最后结合题意总结结果即可．
2
解答：解：原方程可化为2x﹣3x﹣（k+3）=0，① （1）当△=0时，
，
2
满足条件；
（2）若x=1是方程①的根，得2×1﹣3×1﹣（k+3）=0，k=﹣4； 此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根（3）当方程①有异号实根时，
；
，得k＞3，此时原方程也只有一个正实数根；
，此时原方程也只有一个正实根．
（4）当方程①有一个根为0时，k=﹣3，另一个根为综上所述，满足条件的k的取值范围是
或k=﹣4或k≥﹣3．
点评：主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点要分情况讨论．
22、对于某一自变量为x的函数，若当x=x0时，其函数值也为x0，则称点（x0，x0）为此函数的不动点．现有函数y=
，
有不动点（4，4），（﹣4，﹣4），求a，b；
的图象上有两个关于原点对称的不动点，求实数a，b应满足的条件；
仍有两个关于原点对称的不动点，则此时函数y=的图象又有什么关系？
的图象与函数y=
的图
（1）若y=（2）若函数y=
（3）已知a=4时，函数y=象有什么关系？与函数y=
考点：反比例函数综合题。
专题：新定义。 分析：（1）把（4，4），（﹣4，﹣4）代入函数解析式得到关于a，b的方程组，然后解方程组就可以确定函数的解析式；
（2）根据两点关于原点知道：纵坐标相同，横坐标互为相反数可以得到关于b的一元二次方程，再利用根与系数的关系确定a，b应满足的条件；
（3）根据（2）知道b=3，现在可以确定函数的解析式，把它化成y=3﹣
，然后根据平移的规律可以得到与y=
，
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Http://www.jyeoo.com y=﹣ 的关系．
解答：解：（1）将（4，4）、（﹣4，﹣4）代入y=中，得，解得
（2）令
2
=x，得：3x+a=x+bx（x≠﹣b）
2
即x+（b﹣3）x﹣a=0
设方程的两根为x1，x2，则两个不动点（x1，x2），（x2，x2）， 由于它们关于原点可以得到对称为，所以x1+x2=0， ∴
，解得
，
又因为x≠﹣b，即x≠﹣3，所以以a≠9， 因此a，b满足条件a＞0且a≠9，b=3；
（3）由（2）知b=3，此时函数为y=即y=3﹣∴函数y=又函数y=﹣∴函数y=
的图象可由y=﹣
的图象向上平移3个单位得到，
，
的图象可由函数y=﹣的图象向左平移3个单位得到，
的图象可由函数y=﹣的图象向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到．
点评：此题首先考查了用待定系数法确定函数的解析式，然后考查了利用平移规律找到几个图象相同的函数之间的联系．
23、如图，已知：PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B，C，PD⊥AB于D，延长PD交AO的延长线于E，
连接CE并延长，交⊙O于F，连接AF．
（1）求证：PD?PE=PB?PC； （2）求证：PE∥AF；
（3）连接AC，若AE：AC=1：，AB=2，求EF的长．
考点：切线的性质；切割线定理；相似三角形的判定与性质。 专题：证明题；综合题。 分析：（1）欲证PD?PE=PB?PC，在此题所给的已知条件中，∠APE的余弦值在△APD和△APE中，有两种表示方法，
2
从而得出一个等积式，根据切割线定理，再得到一个等积式，从而借助于PA得到PD?PE=PB?PC；
（2）可证△PBD∽△PEC，再根据相似三角形的性质和圆内接四边形的性质得到∠PEC=∠AFC，根据平行线的判定即
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Http://www.jyeoo.com 可得出结论；
（3）分别证明△PAB∽△PCA，△AEF∽△APB，得出两个比例式，联立有解答：（1）证明：∵PA切⊙O于点A， ∴AO⊥PA． ∵PD⊥AB， ∴
=cos∠APE=
2
=，再代值即可求出EF的长．
．
∴PA=PD×PE…①
∵PBC是⊙O的割线，PA为⊙O切线， ∴PA=PB×PC…②
联立①②，得PD?PE=PB?PC；
（2）证明：∵PD?PE=PB?PC（已证）， ∴
，
2
∵∠BPD为公共角， ∴△BDP∽△EPC， ∴∠PBD=∠PEC，
∵四边形ABCF内接圆， ∴∠ABP=∠AFC， ∴∠AFC=∠PEC， ∴PE∥AP；
（3）解：∵AP是⊙O的切线， ∴∠PAB=∠PCA， ∵∠APB=∠CPA， ∴△PAB∽△PCA， ∴
=
…①，
∵∠PAE=∠ADP=90°， ∴∠APD+∠PAD=90°， ∠APD+∠AEP=90°， ∴∠PAB=∠AEP=∠FAE， ∵∠ABP=∠F， ∴△AEF∽△APB， ∴
=
，即
==×2=
…② ， ．
联立①②，有∴EF=AE×
=
点评：此题考查了三角函数、切割线定理，以及相似的判定和性质，比较全面，有一定的难度．
2
24、已知二次函数y=ax+bx+c经过点（1，2）．
（1）若a=1，二次函数顶点A，它与x轴交于两点B、C，且△ABC为等边三角形，求此时二次函数的解析式． （2）若abc=4，且a≥b≥c，求|a|+|b|+|c|的最小值．
（3）在（2）中取得最小值的条件下，若b，c为整数，请求出此时二次函数的解析式，并说明该函数在m≤x≤m+2时的最小值（其中m的常数）．
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Http://www.jyeoo.com 考点：二次函数综合题。 专题：综合题。 分析：（1）将（1，2）的坐标代入抛物线的解析式中，联立a=1，可得出b、c之间的关系式．如果△ABC是等边三角形，那么式．
（2）易知：b+c=2﹣a，bc=，可将b、c看做是一元二次方程x﹣（2﹣a）x+=0的两实根，那么可根据△≥0，求得a的大致取值范围为a≥4．由于abc=4＞0，且a≥b≥c，则说明①a、b、c均大于0，由于a≥4，如果三数均为正数，显然a+b+c＞4≠2，因此不合题意．②a正，b、c为负，那么此时|a|+|b|+|c|=a﹣（b+c）=a﹣（2﹣a）=2a﹣2，根据得出的a的取值范围，即可求出|a|+|b|+|c|的最小值．
（3）根据（2）中的条件，确定b，c的值，求出二次函数式，根据讨论m的取值范围，求出最值． 解答：解：（1）由题意，a+b+c=2， ∵a=1， ∴b+c=1
抛物线顶点为A（﹣，c﹣
）
2
倍BC的长正好是A点纵坐标的绝对值，联立b、c的关系式可求出b、c的值，从而求出函数的解析
设B（x1，0），C（x2，0），
2
∵x1+x2=﹣b，x1x2=c，△=b﹣4c＞0 ∴|BC|=|x1﹣x2|=∵△ABC为等边三角形， ∴
2
==
﹣c=
?
，
即b﹣4c=2
2
∵b﹣4c＞0， ∴
=2
，
∵c=1﹣b，
2
∴b+4b﹣16=0，b=﹣2±2 ∴当b=﹣2+2时，c=3﹣2 当b=﹣2﹣2时，c=3+2 ∴此时二次函数的解析式为： 2
y=x+（﹣2+2）x+3﹣2或 2
y=x+（﹣2﹣2）x+3+2
（2）∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a+b+c＜0，与a+b+c=2矛盾． ∴a＞0．
∵b+c=2﹣a，bc=
∴b，c是一元二次方程x﹣（2﹣a）x+=0的两实根． ∴△=（2﹣a）﹣4×≥0，
∴a﹣4a+4a﹣16≥0，即（a+4）（a﹣4）≥0，故a≥4． ∵abc＞0，
∴a，b，c为全大于0或一正二负． ①若a，b，c均大于0，
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Http://www.jyeoo.com ∵a≥4，与a+b+c=2矛盾；
②若a，b，c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0， 则|a|+|b|+|c|=a﹣b﹣c=a﹣（2﹣a）=2a﹣2， ∵a≥4， 故2a﹣2≥6
当a=4，b=c=﹣1时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故|a|+|b|+|c|的最小值为6．
（3）根据（2）中的条件，可知道a=4，b=﹣1，c=﹣1．
2
y=4x﹣x﹣1，二次函数开口向上． 顶点的横坐标：x=， 当m+2＜，即m＜﹣，
最小值为：4（m+2）﹣m﹣1=4m+15m+15． 当m＞时，
最小值为：y=4m﹣m﹣1．
点评：本题考查二次函数的综合运用，关键是根据等边三角形的性质，三边相等，以及两点间的距离公式求出求出b，c的值，确定函数式，以及根据坐标和所给的条件求出最值，以及函数的性质等知识点．
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Http://www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有：
HJJ；dbz1018；zcx；feng；wdxwzk；nhx600；zxw；zzz；hdq123；开心；ljj；心若在；zhangjx111；CJX；zhangCF；lzhzkkxx；MMCH；workholic；gbl210；ZHAOJJ；mmll852；Liuzhx；疯跑的蜗牛；ln_86；mrlin。（排名不分先后） 菁优网
2012年2月4日
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