得(3?k)x?4kx?4k?3?0.
2222?3?k2?0,????0,2??4k由?x?x? 解得k2?3. ?????????????5分 ?0,123?k2??4k2?3?x1x2???0.3?k2?设M?x1,y1?,N?x2,y2?,则
MN＝1?k2│x1?x2│＝6＋
24?6. 2k?3当直线斜率不存在时，x1?x2＝2，得y1＝3，y2＝－3.此时MN＝6.
所以MNmin＝6. ?????????????????7分 (2)当MQ⊥NQ时，│RQ│＝
MN2＝xR?a.①
又
MB1xM－2＝
NB1xN?2＝2，即
MB?NBxM?xN?1＝2 ，
所以│MN│＝4xR?2， 故xR?MN?24. ②
将②代入①，得│MN│＝2－4a.
由│MN│＝2－4a?6,得a≤－1. ???????????????13分
2
66、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)已知抛物线x＝4y上的点P(非原点)处切线与x、y轴分别交于Q、R点，F为抛物线的焦点。 （Ⅰ）若PQ??PR , 求?的取值范围；
y （Ⅱ）若抛物线上的点A满足PF??FA .求△APR面积的最小值，并写出此时过P点的切线方程。 解：（Ⅰ）设P(t,F ． Q R P t)(t?0),则PR所在直线的方程为： 42A x t2ty???x?t?
42?t2?t?0,-令y?0得Q?,0? ,令x?0得R??4?2??
??? ??tt2?PQ????2,?4??PQ???t2?? , PR????t,?2????? ?1?1?PR ,即?的取值范围为??。 2?2?t2?1Ⅰ)知PA的方程为：y?1?4（Ⅱ）由(x
t?t2?1???44?4联立?y?1?x 得点A的坐标为?-,2? t?tt??2??x?4y而S△APR11t24?RF?xP?xA?1??t? 224t1t34?2t? =
24t1?t3?2t?显然只需考查函数f?t????2?4因为f/?t??1?324t?2??2?4t24??当t?0时的最小值。 ?t?23?/??,令ft?0得t? ?3??23??23??时，f/?t??0,t???时，f/?t??0 当t??0,,????3?3??????23?16323??所以f?t?当且仅当t?时取得最小值f? ??339??1t3423?2t?是关于t的偶函数，同样当t?? 又因为时，也取得最小值24t3163 。 9 故此时过P点的切线PR的方程为：
y?313x? 或y?—x?1 33367、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿
某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B?；折痕l与AB交于点E，点M满足关系式EM?EB?EB?。若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）： （Ⅰ）．求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形A1B1C1D1的三边A1B1,B1C1,C1D1分别与曲线S切于点P,Q,R.求梯形
y A1B1C1D1面积的最小值.
解：（1）如图，设M（x,y），B/(x0,2)，又E（0，b）
显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为y=kx+b,,则
A 错误！D E 错误！未找到kBB/?/x21???k??0 x0k2B O C l x x而BB的中点(0,1)在直线l上，
22x0x0x0故(?)??b?1?b?1?，①
224)由于EM?EB?EB??(x,y?b?x2y???1，又0?x0?2
4(?0b,?x)0?x?x?(b,?2?)0代入①即得
?y?2?bx2?1（0?x?2）-------------6分 点M的轨迹方程y??4x2?1(?2?x?2) （2）易知曲线S的方程为y??4设梯形A1B1C1D1的面积为s，点P的坐标为(t,?t2?1)(0?t?2). 由题意得，点Q的坐标为(0,1)，直线B1C1的方程为y?1.
14x2xt?1 ?y??? ?y?|x?t?? y??422 ? 直线A1B1的方程为y?(?12tt?1)??(x?t), 42
即：y??t1x?t2?1 24t2?4t2?4 令y?0 得，x?,?A1(,0).
2t2t令y?1 得，x?11t?B1(t,1) 22?
当且仅当t?11t2?42s??(t?)?1?2?t??22 222tt2，即t?2时，取“=”且2??0,2?， tt? ? 2时，s有最小值为22. ?梯形A1B1C1D1的面积的最小值为22----------13分
68、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)已知圆M：（x+5）+y=36及定点N
2
2
（5，0），点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足NP?2NQ,GQ?NP?0.
（1）求点G的轨迹C的方程.
（2）过点K（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设OS?OA?OB，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
??NP?2NQ解：（1）??Q为PN的中点，且GQ?PN?GQ是PN的中垂线.
??GQ?NP?0∴|PG|?|GN|.
又|GM|?|GP|?|GM|?|GN|?|PM|?6. ∴点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，a?3,c?225.
x2y2??1.??????????????∴b?a-c?2,?G的轨迹方程是（5分） 94（2）?OS?OA?OB?四边形OASB为平行四边形，假设存在直线l，使|OS|?|OB|；则四边形OASB为矩形.?OA?OB?0. 若直线l的斜率不存在，则l的方程为x?2.
?x?2?x?2??由?x2y2??25
?1?y????4?93??OA?OB?16 ?0，这与OA?OB=0矛盾，故l的斜率存在.?????????（7分）
9设直线l的方程为y?k(x?2),A(x1,y1)、B(x2,y2).
?y?k(x?2)?2（9分） ?(9k2?4)x2?36k2x?36(k2?1)?0 ??????????xy2??1?4?936k236(k2?1)?x1?x2?2,x1x2?. 29k?49k?420k2?y1y2?[k(x1?2)][k(x2?2)]?k[x1x2?2(x1?x2)?4]?2.
9k?4236(k2?1)20k2又?OA?OB?0?x1x2?y1y2?0,（12分） ?2?0?????????29k?49k?43?k??.
2∴存在直线l:3x?2y?6?0或3x?2y-6?0满足条件. ????????（13分） 69、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)在平面直角坐标系中，已知
2??????????????????A1(?2,0),A2(2,0),P(x,y),M(x,1),N(x,?2)，若实数?使得?OM?ON?A1P?A2P（O为坐标原点）
（I）求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型；
2（Ⅱ）当??时，若过点B(2,0)的直线l（斜率不等于零）与（I）中P点的轨迹交于
2??????????????2解：（I）由已知可得A1P?(x?2,y),A2p?(x?2,y),OM?(x?2,0)．
?????2?????????2??(OM)?A1P?A2P, 5分
不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.
??2(x2?2)?x2?2?y2(x?2)
2222即P点的轨迹方程是(1??)x?y?2(1??)(|x|?2) 7分．
x2y2??1(|x|?2),P点的轨迹是两个点(?2,0)． 9分 当1???0 222(1??)2x2y2?1(|x|?2), P点的轨迹1???0，即??(??,?1)?(1,??)时，方程为?22(?2?1)2是双曲线． 11分
1??2?0，即???1时，方程为y?0(x?2), P点的轨迹是两条射线． 13