1?c?x?,??2???????????????????????4分 ?2?y?b?c.?2b?1?cb2?cm?n???0，即b?bc?b2?c?0，即（1＋b）（b－c）>0，
22b∴
b>c． ????????????????????????????????6分
从
e2?而b2?c2即有a2?2c2，∴
1．????????????????????7分 2又
0?e?e?0，∴
2． ?????????????????????????8分 2（Ⅱ）直线AB与⊙P不切．?????????????????????????9分
b2?cb?2b?1?c0?2能相
由
kAB?b，
kPB＝
b2?c． ??????????????????10分
b(c?1)如果直线AB与⊙P相切，则b2
b2?cb(c?1)＝－
1． ???????????????12分
解出c＝0或2，与0＜c＜1矛
盾，?????????????????????14分
所以直线AB与⊙P不能相
切． ??????????????????????15分
评讲建议：
此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，从而大胆求出交点坐标，构造关于椭圆中a，b，c的齐次等式得离心率的范围．第二小题亦可以用平几的知识：圆的切割线定理，假设直线AB与
2
⊙P相切，则有AB＝AF3AC，易由椭圆中a，b，c的关系推出矛盾． 76、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)已知直线y??x?1与椭圆
x2y2??1(a?b?0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l:x?2y?0上. a2b2（Ⅰ）求此椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x2?y2?4上，求此椭圆的方程.
?y??x?1，?解：（1）设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).则由?x2y2 得
?2?2?1b?a
(a2?b2)x2?2a2x?a2?a2b2?0, 根据韦达定理，得2a22b2x1?x2?2,y1?y2??(x1?x2)?2?2,
a?b2a?b2a2b2 ∴线段AB的中点坐标为（2）. ,a?b2a2?b2a22b2222222 由已知得2 ??0,?a?2b?2(a?c)?a?2ca?b2a2?b22 2（2）由（1）知b?c,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0), 设F(b,0)关于直线l:x?2y?0 故椭圆的离心率为e?的对称点为(x0,y0),则2020y0?01x?by34???1且0?2?0?0,解得x0?b且y0?b。由已知x0?b222553242x2y22得 x?y?4,?(b)?(b)?4,?b?4，故所求的椭圆方程为??1 .
845577、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线
y2?4x相交于不同的A,B两点.
???????? （Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求OA?OB的值；
???????? （Ⅱ）如果OA?OB??4,证明直线l必过一定点，并求出该定点.
解：（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0）
设l:x?ty?1代入抛物线y?4x,消去x得
2y2?4ty?4?0,设A(x1,y1),B(x2,y2)
则y1?y2?4t,y1y2??4， ????????OA?OB?x1x2?y1y2?(ty2?1)(ty2?1)?y1y2?t2y1y2?t(y1?y2)?1?y1y2 =?4t2?4t2?1?4??3
（Ⅱ）设l:x?ty?b代入抛物线y?4x消去x，得
2y2?4ty?4b?0,设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1+y2=4t ，y1y2=－4b。 ?????????OA?OB?x1x2?y1y2?(ty1?b)(ty2?b)?y1y2?t2y1y2?bt(y1?y2)?b2?y1y2
=?4bt2?4bt2?b2?4b?b2?4b。
令b?4b??4,?b?4b?4?0?b?2，∴直线l过定点（2，0）。
78、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)倾斜角为60°的一束平行光线，将一个半径为3的球投影在水平地面上，形成一个椭圆．若以该椭圆的中心为原点，较长22
的对称轴为x轴，建立平面直角坐标系． （1）求椭圆的标准方程；
（2）若球的某一条直径的两个端点在地面上的投影恰好分别落在椭圆边界的A、B两点上，且已知C（－4，0），求2的取值范围．
x2y2
解：（1）设椭圆方程是2 + 2 = 1 ，由题知b=3，2a=23，a=2
abcos30?所求椭圆的标准方程是 + = 1 ． 6′ 43（2）设A（x1,y1），B（x2,y2），A、B关于坐标原点O对称，
=（x1＋4,y1），=（x2＋4,y2），
2=（x1＋4,y1）2（x2＋4,y2）=x1x2＋4(x1＋x2)＋16＋y1y2
= x1x2＋16＋y1y2 9′
x2y2
AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程是y=kx，代入椭圆方程 + = 1 得：
4
3
?12?12k2
x1x2?,y1y2?3?4k23?4k2x2y2
2=13?3 12′ 3?4k2由于k可以取任意实数，故2∈[12，13）， 14′
19?19?(23)213AB与x轴垂直时，||=||=19，cos∠ACB==
19219?192=13
∴2∈[12，13]． 16′
79、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)设A、B是抛物线y=2x上两点，
求证：AB的垂直平分线l经过抛物线焦点的充要条件是线段AB的中点落在y 轴上。 证明：设A（x1,y1）,B(x2,y2)，AB的中点落在y 轴上即x1＋x2=0；
∵抛物线y=2x的焦点F(0,) 3′ 充分性：当AB的中点落在y 轴上即x1＋x2=0时，y1=y2，A、B关于y轴对称，直线l即为y轴，经过抛物线的焦点。 6′ 必要性：
（1）直线l的斜率不存在且经过F(0,)时，直线l即为y轴，A、B关于y轴对称，AB的中点落在y 轴上。 （2）直线l经过F(0,)且斜率存在，设斜率为k（显然k≠0），截距为即直线l：y=kx+由已知得：
2
2
1818181， 81 8y1?y21?2(x1?x2)??≠0
x1?x2k即l的斜率存在时，AB的中点不可能落在y 轴上即题设A、B点不存在。 9′
综上所述，l经过抛物线焦点的充要条件是线段AB的中点落在y 轴上。 10′
x2y280、(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)椭圆C：2?2?1,(a?b?0)的两个焦点
ab分别为
F1(?c,0),F2(c,0) ,M是椭圆上一点，且满足F1M?F2M?0。
（1）求离心率e的取值范围
（2）当离心率e取得最小值时，点N( 0 , 3 )到椭圆上的点的最远距离为52
(i)求此时椭圆C的方程
(ii)设斜率为k(k?0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、
3
B两点能否关于过点P（0，- ）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若
3
不能，请说明理由。 解：(1)、由几何性质知的取值范围为：
2
≤e＜1??????3分 2
2
2
2xy
(2)、(i) 当离心率e取最小值 时，椭圆方程可表示为2 + 2 = 1 。设H( x , y )是
22bb2 2222
椭圆上的一点，则| NH |=x+(y-3) = - (y+3)+2b+18 ，其中 - b≤y≤b
222
若0＜b＜3 ，则当y = - b时，| NH |有最大值b+6b+9 ，所以由b+6b+9=50解得b = -3±52 (均舍去) ???????5分
2222
若b≥3，则当y = -3时，| NH |有最大值2b+18 ，所以由2b+18=50解得b=16 xy
∴所求椭圆方程为 + = 1??????7分
3216
x1y1
+ = 13216
(ii) 设 A( x1 , y1 ) ，B( x2 , y2 )，Q( x0 , y0 )，则由两式相减得 22
x2y2
+ = 13216
x0+2ky0=0；???① ????????8分
13
又直线PQ⊥直线l，∴直线PQ的方程为y= - x - ，将点Q( x0 , y0 )坐标代入
k3
2
2
?
??
22
13
得y0= - x0- ???② ????????9分
k3233
由①②解得Q( - k , )，而点Q必在椭圆的内部
33
22x0y0
∴ + < 1，????? 10分
3216
472
由此得k< ，又k≠0
2∴ -
9494 < k < 0或0 < k < 22
9494
, 0 ) ∪( 0 , )时，A、B两点关于过点P、Q、的直线对称。????22
故当( - 12分
x2?y2?1交于81、(宁夏区银川一中2008届第六次月考)如图，直线y=kx+b与椭圆4A、B两点，记△AOB的面积为S．
（I）求在k=0，0 （II）当|AB|=2,S=1时，求直线AB的方程． 解：（Ⅰ）解：设点A的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b)， 错错x22由?b2?1，解得x1，2??21?b， 4所以S?错错错1b?x1?x2 2?2b?1?b2 ≤b?1?b?1． 当且仅当b?222时，S取到最大值1． 2?y?kx?b，?（Ⅱ）解：由?x2 2??y?1，?4得?k2???1?22?x?2kbx?b?1?0， 4???4k2?b2?1， 4k2?b2?1?2． ② |AB|?1?k?|x1?x1|?1?k?1?k2422设O到AB的距离为d，则 d?2S?1， 又因为d?|b|， |AB|1?k2所以b2?k2?1，代入②式并整理，得 1?0， 413解得k2?，b2?，代入①式检验，??0， 22故直线AB的方程是 k4?k2?y?26262626或y?或y??，或y??． x?x?x?x?2222222282、(山东省聊城市2008届第一期末统考)已知定点A（－2，0），动点B是圆F： (x?2)2?y2?64（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P.