（1）求动点P的轨迹E的方程； （2）直线y?3x?1与曲线E交于M，N两点，试问在曲线E位于第二象限部分上是
否存在一点C，使OM?ON与OC共线（O为坐标原点）？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意|PA|?|PB|,且|PB|?|PF|?8,
∴|PA|?|PF|?8?|AF|.
因此点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆.????????4分
x2y2设所求椭圆的方程为2?2?1(a?b?0),
ab∴2a?8,a?4,a?b?c?2?4 ∴b2?12
2222x2y2∴点P的轨迹方程为??1.??????????6分
1612（2）假设存在满足题意的点C(x0,y0)(x0?0,y0?0),设M(x1,y1),N(x2,y2),
OM?ON?mOC(m?R,且m?0),则(x1?x2,y1?y2)?m(x0,y0).
?x0?x1?x2y?y2,y0?1. mm?y?3x?1?22得15x?83x?44?0.????????8分 由?x2y?1,???1612?x1?x2??832,y1?y2?3(x1?x2)?2?. 155?x0??832,y0?.????????10分 15m5m22x0y01??1,解得m2?. 又
161215?m??15. 15
又?x0?0,y0?0
?m?15 1585215）????????12分 ,55所以存在满足题意的点C（?x2y283、(山东省实验中学2008届高三第三次诊断性测试)已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)ab的离心率为
3
，直线l:y?x?2与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆3
相切.
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线
l2垂直l1于点P，线段PF2垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
???????????? （3）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R,S在C2上，且满足QR?RS?0,求QS的
取值范围.
3c2a2?b21222,?e???,?2a?3b解：（Ⅰ）∵e? ??1分 23a3c222∵直线l:x?y?2?0与圆x?y?b相切，
2∴?b,?b?2,b2?2 ????2分
2∴a2?3 ????3分
x2y2??1 ??????4分 ∵椭圆C1的方程是 32（Ⅱ）∵MP=MF2，
∴动点M到定直线l1:x??1的距离等于它到定点F1（1，0）的距离， ∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 ??????6分 ∴点M的轨迹C2的方程为 y?4x ????7分
2y12y2,y1),S(,y2) ????8分 （Ⅲ）Q（0，0），设R(442y12y2?y12,y1),RS?(,y2?y1) ????9分 ∴QR?(44∵QR?RS?0
2y12(y2?y12)?y1(y2?y1)?0 ∴
16∵y1?y2,y1?0，化简得
16∴y2??(y1?) ??????11分
y12562∴y2?y12?2?32?2256?32?64
y122
当且仅当 y12?2562,y1?16,y1??4时等号成立 ????13分 y122y212222(y2?8)2?64，又?y2?64 ∵|QS|?()?y2?44|QS|min?85，故|QS|的取值范围是[85,??)??14∴当y2?64,y2??8时，分
84、(山西大学附中2008届二月月考)已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l:y??2 的距离小1. （1）求曲线C的方程；
（2）过点P(2,2)的直线m与曲线C交于A,B两点,设AP??PB.当△AOB的面积为42时（O为坐标原点），求?的值.
解：（1）?点M到点F(1,0)的距离比它到直线l:y??2的距离小于1，
∴点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线l?:y??1的距离相等
2?点M的轨迹C是以F为焦点,l?为准线的抛物线，所以曲线C的方程为x2?4y
（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，
设直线m的方程为y?2?k(x?2),即y?kx?(2?2k)， 代入x?4y得x?4kx?8(k?1)?0 （*）
22??16(k2?2k?2)?0对k?R恒成立,所以,直线m与曲线C恒有两个不同的交点
设交点A，B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)， 则x1?x2?4k,x1x2?8(k?1)
?|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(1?k2)[(x2?x1)2?4x2x1]?4(1?k2)(k2?2k?2)
点O到直线m的距离d?|2?2k|1?k2，
?S?ABO?1|AB|?d?4|k?1|k2?2k?2?4(k?1)4?(k?1)22
?S?ABO?42,?4(k?1)4?(k?1)2?42，
?(k?1)4?(k?1)2?2?0,(k?1)2?1或(k?1)2??2（舍去） ?k?0或k?2
当
k?0时,方程（*）的解为
?22 若
x1?22,x2??22,则??2?22?22?1?3?22
若x1??22,x2?22,则??2?2222?2?3?22 当k?2时,方程（☆）的解为
4?22
若x1?4?22,x2?4?22,则???2?222?22?2?222?22?3?22
若
x1?4?22,x2?4?22,则???3?22 所以，
??3?22或??3?22
85、(上海市部分重点中学2008届高三第二次联考)设F1,F2分别是椭圆C：
x2y2??1(a?b?0)的左右焦点 a2b23(1)设椭圆C上的点(3,)到F1,F2两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标
2(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程
(3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，
PN的斜率都存在，并记为kPM,KPN 试探究kPM证明你的结论。
2?KPN的值是否与点P及直线L有关，并
32)(3)32[解]：（1）由于点(3,?1 ------1分 )在椭圆上，2?2ab22a=4, ------2分
(x2y2椭圆C的方程为 ??1--------3分
43焦点坐标分别为（-1，0） ，（1，0）-----------4分
（2）设KF1的中点为B（x, y）则点K(2x?1,2y)--------6分
x2y2把K的坐标代入椭圆??143(2x?1)2(2y)2中得??143-----8分
12y2?1----------10分 线段KF1的中点B的轨迹方程为(x?)?324（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称
设M(x0,y0)N(?x0,?y0),p(x,y) ----11分
x02y02x2y2M,N,P在椭圆上，应满足椭圆方程，得2?2?1，2?2?1------12分
abab
kPMy?y0?x?x0KPNy?y0?-------------------13分 x?x0kPM2y?y0y?y0y2?y02b??2?KPN==?2-----------15分
x?x0x?x0x?x02a故：kPM86、
?KPN的值与点P的位置无关，同时与直线L无关，-----16分