分
x
70、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)已知直线l: y＝2x－3与椭圆C:2 ＋y2＝ 1 (aa
＞1)交于P、Q两点, 以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A.
3
(1) 设PQ中点M(x0,y0), 求证: x0＜
2
(2)求椭圆C的方程.
2x2
解: (1)设直线l: y＝2x－3与椭圆C: 2 ＋y＝ 1 (a＞1)交于P(x1,y1),Q(x2,y2), 右顶
a点A(a,0), 将y＝2x－3代入x＋ay－a＝0中整理得(4a＋1)x－43ax＋2a＝0
2
43a
x1＋x2=2 ①
4a＋1
2
2a
x1x2=2 ②
4a＋1
2
22
2
2
2
2
22
?????
x1＋x223a333∵M(x0,y0)为PQ中点 ∴x0＝ ＝ 2 ＝ － 故x0＜ 2
24a＋122(4a＋1)2
(2)依题意: 2＝0, 则(x1－a)(x2－a)＋y1y2＝0 又y1＝2x1－3, y2＝2x2－3
432
故 (x1－a)(x2－a)＋(2x1－3)(2x2－3)＝0 由①②代入③ 得: 4a－43a－a＋3＝0
22
∴(a－3)(4a－a－3)＝0 ∵a＞1, 则4a－a－3＞0 故a＝3
2x2
故所椭圆方程为 ＋ y＝1
3
2
x2?y2?1的左焦点为F，O为坐标71、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知椭圆2原点。过点F的直线l交椭圆于A、B两点．
? （1）若直线l的倾斜角??，求AB；
4 （2）求弦AB的中点M的轨迹；
（3）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点， 线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．
x2?y2?1联立得 解：（1）直线l方程为y?x?1与2442 ?????3x2?4x?0，?x1?x2??AB?33??4分
（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）（2）设弦AB的中点M的坐标为依题意有
?x122?y1?1??2?x222?y2?1?122（x?）?y2?222?x?x?2y?0? ?x1?x2?2x??1
11?y?y?2y2?148?y1?y2y??x?xx?12?1??
所以弦AB的中点M的轨迹是以（?为
1为中心，焦点在x轴上，长轴长为1，短轴长，0）2的
椭
22圆。 ???????8分
（3）设直线AB的方程为y?k(x?1)(k?0),
x2?y2?1,整理得(1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0. 代入2?直线AB过椭圆的左焦点F，?方程有两个不等实根。
4k2记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0), 则x1?x2??2,
2k?11令y?0,得 ?AB的垂直平分线NG的方程为y?y0??(x?x0).
k2k2k2k211xG?x0?ky0??2?2??2???2.2k?12k?12k?124k?2 1?k?0,???xG?0,21?点G横坐标的取值范围为(?,0). ???????13分
22008
届上期末)抛物线
C
的方程为
72、(吉林省吉林市
y?ax2(a?0),过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0?0)，作斜率为k1,k2的两条直线，分别
交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点（P、A、B三点互不相同），且满足
k2??k1?0(??0且???1).
（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（2）设直线AB上一点M满足BM??MA,证明：线段PM的中点在y轴上；
（3）当??1时，若点P的坐标为（1，—1），求∠PAB为钝角时，点A的纵坐标的取
值范围. 解：（1）由抛物线C的方程y?ax(a?0)得，
焦点坐标为(0,211),准线方程为y??. ??????????????2分 4a4a （2）设直线PA的方程为y?y0?k1(x?x0),直线PB的方程为y?y0?k2(x?x0)
?y?y0?k1(x?x0)①
点P(x0,y0)和点A(x1,y1)的坐标是方程组? 的解 2
?y?ax②
2将②式代入①式，得ax?k1x?k1x0?y0?0，
于是x1?x0?k1k,故x1?1?x0 ③????????????????4分 aa?y?y0?k1(x?x0)④
又点P(x0,y0)和点B(x2,y2)的坐标是方程组? 的解 2⑤
?y?ax将⑤式代入④式，得ax2?k2x?k2x0?y0?0， 于是x2?x0?k2k,故x2?2?x0 ????????????????4分 aa由已知得，k2???k1,则x2???ak1?x0. ⑥
设点M的坐标为(xM,yM),则BM??MA,则xM?x2??x1.
1??将③式和⑥式代入上式，得xM??x0??x0??x0,即xM?x0?0.
1??线
所以线段PM的中点在y轴上 ????????????????????8分 （3）因为点P（1，－1）在抛物
y?ax2上,所以a??1,所以抛物线的方程为y??x2.
由③式知x1??k1?1,代入y??x,得y1??(k1?1)
将??1代入⑥式得x2?k1?1,代入y??x,得y1??(k1?1) 因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为
2222A(?k1?1,?k2?2k1?1),B(k1?1,?k12?2k1?1).于是,AP?(k1?2,k12?2k1),AB?(2k1,4k1)所以AP?AB?2k1(k1?2)?4k1(k12?2k1)?2k1(k1?2)(2k1?1),因为?PAB为钝角且P,A,B三点互不相同,故必有AP?AB?0求得k1的取值范围是k1??2或?故当k1??2时,y1??1;当?
1?k1?0.又点A的纵坐标y1满足y1??(k1?1)2211?k1?0时,?1?y?? 24即y1?(??,?1)?(?1,?)?????????????????????12分 73、(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)设F1,F2分别是椭圆的
14x2?y2?1左，右焦点。 4
（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1?PF2?求点P的坐标。
5， 4（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线与椭圆交于不同的两点A,B，且?AOB为锐角（其中
O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。 解：（Ⅰ）易知a?2,b?1,c?3。
?F1(?3,0),F2(3,0).设p(x,y)(x?0,y?0).则
5x2PF1?PF2?（?3?x,?y）(3?x,?y)?x?y?3??,又?y?1，
4422 ????????????3分
7?22?x?1x?y??x2?1?3???4联立?2，解得?23??，p(1,) ??????5分 32?y??x?y2?1?y?4?2???4（Ⅱ）显然x?0不满足题设条件 ????????????????6分 可设l的方程为y?kx?2,设A(x1,y1),B(x2,y2).
?x2??y2?1联立?4?x2?4(kx?2)2?4?(1?4k2)x2?16kx?12?0
?y?kx?2??x1x2?1216k ??????????????7分 ,x?x??121?4k21?4k222222由??(16k)?4?(1?4k)?12?0 16k?3(1?4k)?0,4k?3?0
得k2?31 ????????????????8分 ○4又?AOB为锐角?cos?AOB?0?OA?OB?0，
?OA?OB?x1x2?y1y2?0 ??????????????????9分
又y1y2?(kx1?2)(kx2?2)?kx1x2?2k(x1?x2)?4
2?x1x2?y1y2?(1?k2)x1x2?2k(x1?x2)?4
121612(1?k2)2k?16k?(1?k)??2k(?)?4???4
1?4k21?4k21?4k21?4k22
4(4?k2)122 ??????????????11分 ??0,???k?4. ○241?4k1○2可知综○
333 ????12分 ?k2?4,?k的取值范围是（?2，?）?（，2）42274、(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)在?ABC中，已知A(0,2)，
B(0,?2)，AC、BC两边所在的直线分别与x 轴交于原点同侧的点M、N，且满足OM?ON?4。
(1)求点C的轨迹方程E；
????????????(2)若Q是E上任一点，动点P在线段OQ上，求(PA?PB)?PQ的最小值。
解：（1）设点C(x,y)(x?0)，M(xM,0),N(xN,0)．
当y?2时，AC//x轴，当y??2时， BC//x轴，与题意不符，所以y??2;
由A．C．M三点共线有
2x2?02?y，解得xM?．同理由B．?C．N
0?xM0?x2?y三点共线，解得xN?2x． 2?y2x2x??4， 2?y2?y?xM?xN?0， ?OM?ON?xM?xN?化简得点C的轨迹方程为x?y?4(x?0) （2）解略。最小值为－2
22y275、(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)已知椭圆x?2?1(0?b?1)的左焦点为
bF，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（Ⅰ）当m＋n>0时，求椭圆离心率的范围；
（Ⅱ）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．
解：（Ⅰ）设F、B、C的坐标分别为（－c，0），（0，b），（1，0），则FC、BC的中垂线分别为
2x?y?1?c2，
b11?(x?)．????????????????????????2分 2b2联立方程组，解出