三角函数与平面向量答案 1．B解：当B． 2．C解：由
x?(0,?2)时，tanx?6)?x?sinx 所以x?(??,?)时，y?sinx与y?x，y?tanx均只有一个交点，即原点．故选
f(x)?20?x?2sin(x?在?0,2??的图像可知a?(?2,1)?(1,2)，故选C．
?23．C解：因为
f(x)?，所以sinx?0,cosx?0，
22cosx?8sinxsin2x所以
????????OAe4．B．解：∵与
?216cosxsinx2sinxcosx22?4反向∴??0 又
????????????????|?|?|OA|?|OA|?|cos?e、OA?|?2．故选C．
∴???2.故选B．
5．C.解：②向量几何意义可知AB?AC;③由向量几何意义可知AC⊥AB. 故选C． 6.D解：设其边长是a，AB与l2的夹角为?，
352则1?asin?,2?asin(60???)1sec??1?，于是2asin?5sin???asin(60???)3，得
a?2cos??sin??0，所以
tan??35．
2271?tan?27 所以sin?3，，选D．
????????????????????????????????222222227.B解：由|OA|?|BC|?|OB|?|AC|，得OA?OB?BC?AC?0，
????????????????????????????????????????????????????????(OA?OB)?(OA?OB)?(BC?AC)?(BC?AC)?0(OA?OB)?BA?(BC?AC)?BA?0即，所以， ????????????????????????????即BA?(OA?AC?OB?BC)?0，即BA?2OC?0，所以BA⊥OC．
cos??1?221同理，AC⊥OB，BC⊥OA，所以点O是△ABC的垂心，故选B．
8.D. 解：对称轴为x?1,又为偶函数,则函数是周期为2的函数．有[－3，－2]上是减函数可知[0，1] 是增函数. 故选D． 9．D解：设即
cos??cos??x12?x2，则
(sin??sin?)?(cos??cos?)?22212?x2，
2?2cos(???)?，所以
x?32?2cos(???)．
0?x?2722，选D． 2，即显然，当cos(???)取得最大值时，x有最大值．所以
10．D解：由已知条件知△A1、B1、C1的三个内角的余弦值为均为正，则△A1、B1、C1为锐角三角形，假设△A2、B2、C2为锐角三角形．
2?14?x?14??sinA?cosA?sin(?A1)21?2????sinB2?cosB1?sin(?B1)2???sinC?cosC?sin(?C1)21?2由???A??A12?2????B1?B2?2???C??C12?2得?
那么故选D．
A2?B2?C2?3?2?(A1?B1?C1)??2，这与三角形内角和为?矛盾，所以假设不成立，则△A2、B2、C2为钝角三角形，
d?5?sint?60d?10sint?60t?11．解：因为经过t秒，秒针转了30弧度，所以212．解：设故xa?(x,y)，所以．又
2。
2，则
a?b?(x?2,y?1)，依题意，知
y?1(x?2)?(y?1)?1，
??1或-3，从而a?(?1,1)或(?3,1)．
??a13．?b?0??a且?b14．解：由已知，
1?(??,?2)?(?2,)2． ∴1?2??0且???2即入
????????????????????????????OP?OA??AB,AB?(?1,1)OP?OA??AB?(1,0)??(?1,1)?(1??,)????????????PB?OB?OP?(??1,1??)，所以，从而
????????????PA?OA?OP?(?,??)，
????????????????所以OP?AB???1???2??1，PA?PB??(??1)??(1??)?2?(??1)．
22，又0???1，所以由，得2??4??1?0，所以
????15．解：如图，因为|AC|?2，所以A在以C（2,2）为圆心，以2为半径的圆上．
?????????COAOB显然，当OA与相切时，与的夹角取得最大值和最小值．
2??1?2?(??1)21?2???1?2??[1?22,1]．
在Rt△OAC中，
?BOA?????|AC|?2，
?4????|OC|?2?222?22?AOC??6，所以
????OB与向量
，又因为
?BOC??4，所以
,5?]?4??6??12，
?BOA1???6?5?????12，所以向量OA的夹角的取值范围为
[?1212．
16．解： 则S?AOB??S?OB?C??S?AOC?S?AOCA?12S?AOC? ??????????令OB?2OB
??????????OC?2OC 则O
为△AB?C?的重心
C ，
S?AOB?12S?AB?O
S?BOC?14S?B?OC?S?ABC?S?AOB?2S?BOCC∴S?AOB2∴SABOC?54
2?17．解：由
f(x)?a?1sin(ax??)与g(x)?a?12图像所围成的封闭图形可得其面积为DE?263a?a?12。
18．解：设E为BC中点，连结DE，则DE//AB，且
83263AC2，设BE?x．
222在△BED中，BD?BE?ED?2BE?EDcos?BED．
所以
5?x?2?2??66x2，解之得x2?1或
x??73（舍）．故BC=2．
283?AB?BC?2AB?BCcosB?从而在△ABC中，
6，由sinAsinb????????????????????P1P3?P2P4?|P1P3||P2P4|?2?2?419．解：由图像可知。
，
7014所以
AC?2213，又
sinB?30a?b?sinA?．
20．解：由条件可得出M是AB的中点，N是△ABC的重心，不难得出②、④是正确的． 21．解：作出函数y?f(x)的图形可从图形中得（3）（4）正确
sinx22．解：作出(??,0)上函数y?sinx的图形
x可看成图形上一点与原点所在直线斜率，由图形可知（1）（3）（5）正确
两式的两边平方相加得：
5665s?in??523．解：（1）将13?和13cos??5sin??15169?130(sin?cos??cos?sin?)?25?306sin(???)?，即可得
c?os2．
（2）由已知得
sin??sin??sin?s??co?s?，① co?2，②
sin?sin??cos?cos??12①2+②2得(sin??sin?)?(?cos??cos?)?1，即
cos(???)?12，
??????3即，所以．
??????3BD因为sin??sin??sin??0，所以???．所以
AB． ①，
24. 解：（1）在?ABD中，由正弦定理得sin?ADBACsin?BAD在?ACD中，由正弦定理得sin?ADC又AD平分?BAC，所以?BAD?DCsin?CAD②，
?sin?CAD??CAD，sin?BAD，
BDsin?ADB?sin(???ADC)?sin?ADC，由①②得DC.
22?ABAC?36，所以DC?2BD.
（2）因为DC?2BD在△ABC中，因为
DC?23BC，所以
22AB?BC2?3?721，
????????????2?????????2???21122AB?DC?AB?(BC)?|AB|?|BC|cos(??B)??3?7?(?)??333213. 所以
?BAM??,?MAC??,tanC?cot?得??C?90?cosB?AB?BC?AC?3?7?6222?1125. 解： （I）设则由
???B?90? ?ABM中，由正弦定理得
BMsin??AMsinB,即sinBsin??AMMB.
sinC同理得sin??AMMC,
?MB?MC,?sinBsin??sinCsin?,
???C?90?,??B?90?,?sin?cos??sin?cos?
即sin2??sin2?,????或????90? 当
???90?AM?12BC?MC,?sin?sinC?sin?sinB时，
与?AMC的三边长是连续三个正整数矛盾，
，??ABC是等腰三角形。
（II）地直角三角形AMC中，设两直角边分别为n,n?1,斜边为n?1, 由
(n?1)?n?(n?1)222????,??B??C得n=4，
cos?BAC?725或.cos?BAC??725 .由余弦定理或二倍角公式得
226．解：（1）由已知得b?ac，
cosB?a?c?b2ac222?a?c?ac2ac22?2ac?ac2ac?12所以
B?(0,，
?3]b?ac?12a?c2?9?b2所以所以
S?ABC?．又
acsinB?2，所以b?3．
?3?93412bsinB?12?9?sin，
当且仅当a?b?c?3时取等号．所以
Smax?934．
????????1212222BA?BC?accosB?(a?c?b)?[(a?c)?2ac?b]22（2）因为 ?12[(9?b)?3b]??(b?2292)?22434,
????????9(BA?BC)min?2所以当b?3时，
．
(x0,y0)?????????????OQ?OP?OM2227．解：（1）设Q(x,y)，圆C:x?y?9上任一点M则
?????????????OQ?(x,y),OP?(1,2),OM?(x0,y0)．又P（1，2），
(1,2)?(x0,y0)．由
，则有(x,y)?2，
?x0?x?1?y?y?2所以?0又
x0?y0?922，故Q的轨迹方程为
(x?1)?(y?2)?92．
1?2?|OP|?|OM|?sin?POMS?OPQM?2?S?OPM?35sin?POM?35， 2（2）
?????????OP?OM?0． 35所以四边形OPQM面积的最大值为．此时∠POM=90o，则
?????????M(x0,y0)OP?OM?0及点M在圆C上得 设．由
?65?x0???5???x0?2y0?035??2y0?2??x0?y0?9，解得?5?或
?65?x0??5?35?y0???5??????6535OM?(?,)55，即
或
(655,?355)．
28．解：设∠CAB??，过O作OE⊥AC，E为垂足，连结OA，OB． 因为AB?2r,OA?OB?r，所以∠AOB所以AC?2AE?2rcos(??45?)． 在
Rt?90?，所以∠OABc?45?，
△
12ADC中，，
A?D?Ao?Cs?2?rc??，
CD?ACsin??2rcos(??45?)sin?S?ACD?22E A C B D O 所以
2AD?CD?2rcos(??45?)sin?cos?
21?cos(2??90?)?r??sin2??rcos(??45?)sin2?22?12r(1?sin2?)sin2??12212r[?(sin2??212)?214]．
sin2??所以当
S?ACD，即2??30?，亦即??15?时，
取得最大值，这时C点的位置由∠CAB=15o确定。
????，D、E、F分AB?CFFA?t1?t29．解：（1）证明：设A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xC,yC)． 由题意，在同一时刻t设为?，则
??ADDB?????、BC????CA、
所成的比相同，
BEEC．由定比分点坐标公式可求得：
D(txB?(1?t)xA,tyB?(1?t)yA)
E(txC?(1?t)xB,tyC?(1?t)yB)
F(txA?(1?t)xC,tyA?(1?t)yC)
(xA?xB?xC3,yA?yB?yC3)由三角形重心坐标公式求得△DEF的重心坐标为与t无关，即在运动过程中，△DEF的重心不变．
AD，
（2）因为所以S?DFAAB?t,AFAC?1?t，所以△DFA与△ABC的底边与高对应成比例，
即S?DFA?t(1?t)S:S?ABC?(AD?AF):(AB?AC)?t(1?t),?S?EFC?t(1?t)S．
14同理，S?DEB所以S?DEF．
2?S?ABC?(S?DFA?S?DEB?S?EFC)?(3t?3t?1)St?12?[3(t?112)?2]S．
因为0?t?1，所以当30．解：（1）易知a????????又AC?BC?0x2?2．由
SS?DEF4时，的面积取得最小值为．
????????????????????????|OC?OB|?2|BC?BA||BC|?2|AC|，得，即
????????|OC|?|AC|．
，所以∠BCA=90o，即△ACO为等腰直角三角形，所以C(1,?1)
?y22b3．所以椭圆的方程为44上，所以．
????????????????????????????（2）证明：由BO?2OA?3OF?0，得BO?OA?3(OA?OF)?0
????????|BF||DB|?????2?????2????????????所以BA?3FA，所以F分BA所成的比??2，所以|FA|．又|CA|又C点在
4?1b?24x2?3y?12，
BF所以FACA，故由角平分线定理知CF平分∠BCA．
三角函数与平面向量
1．在同一坐标系中，函数y?sinx的图像和函数y?x的图像有( )个公共点..函数y?sinx的图像和函数y?tanx（
x????,??CB?）的图像有( B )个公共点.
A. 1 ,3 B. 1 ,1 C. 3, 1 D. 3, 3 1．解：当
x?(0,?2)时，tanx?x?sinx 所以x?(??,?)时，y?sinx与y?x，y?tanx均只有一个交点，即原点．故选B． ( C )
?0,2?]上有两个不同的实数解， 则a的取值范围是2．若方程3sinx?cosx?a在
sin(x?A. a?(?2,0)?(1,2) B. a?(?2,2) C. a?(?2,1)?(1,2) D. a?(?2,1)
?62．解：由3.当
f(x)?2)在?0,2??的图像可知a?(?2,1)?(1,2)。
1?cos2x?8sinsin2x20?x??2时,函数
f(x)?x的最小值为( C )
A.2 B.23 C.4 D.43 3．解：因为
f(x)?0?x?2?2，所以sinx?0,cosx?0，
22cosx?8sinxsin2x?216cosxsinx2sinxcosx22?4所以．故选C．
?43???????e?(?,)''''55，点O(0,0)和A(1,?2)在l上的射影分别是O和A，则OA??e，其中?4．已知平面上直线l的方向向量
等于( Ｂ )
A.2 B.-2 C.5 D. ?????????OAe4．解：∵与反向∴??0 ??????????????|?|?|O?A?|?|OA|?|cos?e、OA?|?25
又
????????????????????????????)?05. 5.在?ABC中,有命题:①AB?AC?BC ②若(AB?AC)?(AB?AC,则?ABC为等腰三角形③对任意
????????m?R,|BC?mBA|?|CA|恒成立，则?ABC的形状为直角三角形④若AC?AB?0,则?ABC为锐角三角形.上述命题正确
∴???2.故选B．
的是( C )
A.①② B.①④ C.②③ D.②③④
5．C.解：②向量几何意义可知AB?AC;③由向量几何意义可知AC⊥AB. 故选C．
6．如图l1,l2,l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三个顶点分别在
l1、l2、l3上，则△ABC的边长是（ D ）
463A．2C．则1?3
B．D．
3
317422136.解：设其边长是a，AB与l2的夹角为?，
asin?,2?asin(60???)cos??52sin??0，于是2asin?tan??35?asin(60???)，
得
2，所以
?5．
327cos??1sec??11?tan?227sin??， a?1sin??2213所以，选D．
7．设O为△ABC所在平面内一点，已知A．重心 B．垂心
????????????????????????222222|OA|?|BC|?|OB|?|AC|?|OC|?|AB|，则点O 是△ABC的（ B ）
????????????????????2????2????2????22222|OA|?|BC|?|OB|?|AC|OA?OB?BC?AC?07.解：由，得????????????????????????????????(OA?OB)?(OA?OB)?(BC?AC)?(BC?AC)?0即，
????????????????????????所以(OA?OB)?BA?(BC?AC)?BA?0， ????????????????????BA?(OA?AC?OB?BC)?0即， ????????即BA?2OC?0，所以BA⊥OC．
C．外心 D．内心 ，