当m?2时，n??n，由题设，n??n不等于0．
因此m?2不合题意，舍去，故满足题设的正整数m的值为2．
limf(x)?limx??limSnm?0limSnm11?b?()x1mx???125．解：（1）当n?m时；
1m?n()xlimf(x)?lim?0x??x??1m1?()?bx（2）当n?m时
limf(x)?limx??；
xn?mx??（3）当n?m时
1?()?bx1不存在m．
（n?m）?0?limf(x)??1（n?m）x????不存在（n?m）． 所以
26．解：（1）设z??z?1z?a?bi(a、b?R,且b?0)a?bia?b22，
ba?b22?a?bi??(a?aa?b22)?(b?)i则由b?0，因为?2b?ba?b22?0是实数，所以
??z?1z． ．
，得a?b?1，即|z|?1，因为|z|?1，所以z?z?|z|?1，所以
22?z?z?2a由已知?1???2u?，即?1?1?z?2a?2，解得
??12?a?1．
??bi1?a1?(a?bi)1?(a?bi)(1?a?bi)(1?a?bi)[(1?a)?bi][(1?a)?bi]1?z （2）证明：
所以u是纯虚数．
．
21?a??u?2a?(2?bia?1)?2a?2?b22（3）因为
?12?a?1(1?a)?2a?a?1(1?a)22?2a?21?a1?a1?a?2(1?a)??3，
1，所以2?1?a?24?2(1?a)??5，所以
，所以??u的最小值为1．
2 不等式、直线与圆易错题参考答案
1．解析：由题设，M于是4M2．解析：令
所以?又
ba??|a?b|，M?|a?b|，M?|b?1|，
?|a?b|?|a?b|?2|b?1|?|(a?b)?(a?b)?2(b?1)|?2f(x)?x?(2?a)x?1?a?b2，所以M?12，故选A．
，因为0?x1?1?x2，
如图所示． 知：?2?ba??23?f(0)?0?f(1)?0b?0a?0，即??a?b?1?0?2a?b?4?0，此不等式组表示的平面区域，
的几何意义是原点和点(a,b)所在直线的斜率，由图可，故选C．
352?225??3．解析：依据题意，直线即a?35ax?y?z与直线AC平行，所以
?a?kAC?5?1，
，故选D．
(x?1)?(y?2)?132224．解析：因为圆x2?y2?2x?4y?164?0的标准方程为：
圆是一个以点O(?1,2)为圆心，以R=13为半径的圆． 因为|OA|?11?(?1)?12，而R=13， 所以经过A点且垂直于OA的弦是经过A点的最短的弦，其长度为2132而经过OA的弦则是经过A点的最长的弦，其长度为圆的直径，即所以经过A点且为整数的弦长还可取11,12,13,14,15,…,25共15个值，过某一点的弦的长若介于最大值与最小值之间，则一定有2条，而经最短弦各有1条，故一共有15×2+2=32条，故选C．
5．解析：由已知得SⅣ- SⅡ= SⅢ-SⅠ，第Ⅱ，Ⅳ部分的面积是定值，所以S即SⅢ-SⅠ为定值．当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合
?122，即此
?10；
2R=26；
又由于圆内弦的对称性，经过某一点的圆的最长弦与- SⅡ为定值， 题意，即直线AB只有一条，
Ⅳ
故选B．
6．解析：作出可行域，可知当aa??2??2时，可行域就是??x?y?0?x?y?4?0构成的区域，其面积是一个无穷大的值，不可能是9，故
（以下同上述错解）．答案D．
7．解析：先把前三个不等式表示平面区域画出来，如图所示． 此时可行域为△AOB及其内部，交点B为(所以a?4322,)33a?，故当x?y?a过B时
a?43，
时可行域仍为△AOB，当x?y过A点时，a ?1?0?1．
43故当0?此时可行域也为三角形，故0?a?1或a?a?1时，
1x1x?()，y?()3212)a．答案：D．
8．解析：作y的图象，如图所示．
?b?0当x?0时，(当x当x1b?()3，则有a； ；
．答案：B．
1a1b?0时，()?()231a1b?0时，()?()23，则有0?b?，则有aa?b?0???x2?4y?0,?x???1???1,9．解析：依题意，方程有两个在区间[-1,1]上的实根，因而有?2?f(?1)?1?x?y?0,???f(1)?1?x?y?0.作出可行域，易得答案为A．
10．解析：由线性规划知识得，点P、Q在直线的同侧，故(?1?m?m)(2?2m?m)?0， 即(2m?1)(3m?2)?0，解得m?12或m??23．
11．解析：坐标轴上有9?2?1?17个整点，第一象限有6个整数，根据对称性四个象限有6?4?24个整点，故满足条件下
整点有17+24=41个，故填41．
12．解析：当4?s?5时，约束条件表示的区域为y?2x?4与x轴，y轴在第一象限围成的三角形区域．
所以直线z?3x?2y过点（0,4）时，z的最大值取值为最大，z?8；
当3?s?4时，直线z?3x?2y过y?x?s与y?2x?4的交点时最大，此时z?4?s，显然s?3，z的最大值的取值为最小．
由??y?x?3?y?2x?4，得?2?x?1?y?2?1t?，所以z2t2?7．所以7?z?8，即z的最大值变化范围是[7,8] ．
13．解析：设
af(t)?t?2t1121?2(?)?t48，它在（0，2]上为减函数， 在（0，2]上的最小值
tt?92要小于等于
tt?92t?2t2，即a要小于或等于
f(t)f(2)?1．
设g(t)?，它在（0，2]上为增函数，a要大于或等于
2?213，即a要大于或等于g(t)在（0，2]上的最大值．而．
[g(t)]max?g(2)?4?9，所以
213?a?1，故应填入的答案是[213,1]14．解析：已知不等式可化为x2设
2?(x?1)p?4x?3?0．
2??f(0)?0?x?4x?3?0,???x?3或x??1． f(p)?(x?1)p?x?4x?3，则?2f(4)?0x?1?0???15．解析：m?cos2x?3?2sinx?于(3?2sinx?cos2x)的最小值．
2m?1恒成立?m?2m?1?3?2sinx?cosx2的解集为R，求m的范围，即m?2m?1小令f(x)?3?2sinx?cos2x?(sinx?1)2?1,x?R． 当sinx??1时，f(x)的最小值为1．
m?2m?1?1??m?1?0,2m?1?m?1???2m?1?0;或
?m?1?0?2?2m?1?(m?1)．
??1?1??m?1或1?m?4?m???,4?2?2?．
16．解析：(1) 由图可知，x的取值范围是(?1,0)．
(2) 原不等式等价于x2画出y?x2?logax．当a?1时，显然在(0,12)上logax?0，而x2?0，故不符合条件．于是0????．
和y?logax(0?a??)的图象，如图所示． 12)由图可知，在(0,围是[116,1)．
范围内，要使函数y?logax(0?a?1)的图象在函数
y?x2的上方，a的取值范
17．解：三条直线能围成三角形必须这三条直线两两相交，且不共点．
?m?1m?4?)?3?(?2)?0?2(3???1?)m2?0??m???3?(2??(m?4?)?(?2m)?0????m??4．
4?x????(m?4)x?2y?3?0m?1?由???m?13?3x?2y?1?0?y???2(m?1)?．
由m?(?即m?54m?1)?(m?132(m?1))?6?0?m?5，
时三线共点，
32,m?1且m?5时，三条直线能围成三角形．
所以m??4,m??18．证明：（1）因为当?1?x?1时，|f(x)|?1，所以|f(0)|?1，即|c|?1．
（2）由于?1?x?1时，|f(x)|?1，所以|f(1)|?|a?b?c|?1，|f(?1)|?|a?b?c|?1． 所以|a?b|?|a?b?c?c|?|a?b?c|?|c|?1?1?2． |a?b|?|a?b?c?c|?|a?b?c|?|c|?1?1?2，
即|g(1)|?2，|g(?1)|?2．而g(x)?ax?b在[-1,1]上单调，所以?1?x?1时，|g(x)|?2． 19．（1）证明：因为M?|f(0)|,M?|f(1)|，M?|f(?1)|，
所以4M?2|f(0)|?|f(1)|?|f(?1)|?|2f(0)?f(1)?f(?1)|?2?|f(0)|,M?|f(1)|,M?|f(?1)|，又M?12，所以M?12．
（2）因为M?????所以???????1212，
???11??1?a?b?，即?22???11??1?a?b?22?b?1232?b?1212，故b??12．
?b??代入得?1?a?0，且0?a?1，所以a?0，故f(x)?x?212．
于M、N点，
20．解：过点A作x轴的垂线交圆O于B点，设直线l1,l2分别与x轴相交
依据题意△AMN为等腰三角形，所以AB为∠PAQ的平分线．
?的中点．所以B为PQ连结OB，则OB⊥PQ．由对称性知，点B(?3,?4)，
43所以kOB?，所以kPQ??1kOB??34，为定值．
21．解：方法1：设f(x)?x2?ax?a，
（1）若f(x)?0在(0,1]上有两解，如图，
???0?f(0)?0??则有?f(1)?0，所以此不等式无解．
??0??a?1??2
（2）若
f(x)?0在(0,1]上有且仅有一解，
则有??f(0)?f(1)?0?f(0)?0，即??a(2a?1)?0?a?0，解得?12?a?0．
综上所述得a的取值范围为[?方法2：因为x?(0,1]，所以x原方程可变为a??x212,0)．
??1， 1??(11x?12)?2x?11x2??1x2?1x14．
因为0?故(1x?12x?1，所以)?2?1 14?214?(1?12)?，
12,0)．
即0????x??????14?12，所以a?[?
x?222．解：设f(x)?x2?ax?3?a，其函数图象为开口向上的抛物线，要使得对于满足?2?只需满足：
（1）??a2?4(3?a)?0，∴?6?a?2．
????0,?a2?4(3?a)?0,???a（2）????2,即?a?4,∴a??2??7f(?2)?0,??a?.?3????0,??a（3）???2,?2??f(2)??? 的一切实数x恒有f(x)?0，
．
?a2?4(3?a)?0,?a?2或a??6,??即?a??4,∴?a??4,?a??7,?a??7,??∴?7?a??6．
综合①、②、③得，当?7?23．解：画出可行域，如图． 直线l:ax?则直线ax?若?a若?ay?0y?za?2时，不等式x214?ax?3?a?0对一切x?[?2,2]均成立． 14的斜率为?a．若?3??a??，即
?a?3，
过点B（4,3）时，zmax，则直线ax?14y?z?4a?3?7，得a?1；
即a?3??3，
??14过点C(5,0)时，zmax?5a?7，得a?75（不符）；
?1，即a?，则直线ax?y?z过点A(0,4)时，zmax?4（不符）．故a．
24．解：画出可行域及圆，如图． 直线l:mx?y?0恒过原点，所以当直线l与线段AB有交点时，则kOA??m?0可行域在圆内，满足题意，
，解得0?m?43．
y?|x?a|
25．解：（1）作函数y?|x?a|及y??|x|?b的图象，画出示的区域，如图．可知，A?B??，则b?a．
及
y??|x|?b表
各边所在直线方程为x?（2）当b?a时，A?B表示一矩形区域，
x?y?a?0，x?y?b?0，矩形两边长分别是两平行线间的距离． 即d1?|a?b|2,d2?|a?b|2y?a?0，x?y?b?0，
，所以S矩形?d1?d2?|a?b|222?b?a222．
当b?a时，面积S?0．综上，所求面积S??12|x?2|12(b?a)22．
26．解：（1）分别画出不等式y
和y??|x|?b所表示的平面区域，如图．
b?1，所以b的取值范围是[1,??)． 因为A?B??，由图可知，
（2）平移直线x?2y?0，当这条直线经过点(0,b)时，x?2y取得最大值． 所以0?2b?8，所以b?4． 27．解：由f(x)?ax2?2x?2a为二次函数，所以a?0．令f(x因为??22?4a(?2a)?0，所以方程有两个不等实数根．设)?0，
为x1?x2，则x1?1a?2?1a2?0,x2?1a?2?1a2?0．
的充要条件得x2?3，
①若a即
1a??0，则A?{x|x?x1或x?x2}．由A?B??2?1a2?3，解这一无理不等式得a?67．
的充要条件得x2??，
②若a即
1a??0，则A?{x|x1?x?x2}2?1a2．由A?B????，解这一无理不等式得a??267．
综合知所求a的取值范围是(??,?2)?(28．解：（1）由
所以(x2f(x)?x2,??)．
，得x22?(b?1)x?c?02，所以x1?，即b2x2?1?b，x1x2?c，
?x1)?(x1?x2)?4x1x2?(1?b)?4c?1?2b?1?4c?1，
所以b2?2b?4c?2(b?2c)，证毕．
（2）由0?t?x1，知t?x1?0．又x2?x1?1，且x1?所以1?x1?x2,1?x1?x2?0,1?t?x2?1?x1?x2?0， 所以所以
f(t)?f(x1)?t?bt?c?(x1?bx1?c)22x2?1?b，
，
?(t?x1)(t?x1)?b(t?x1)?(t?x1)(t?x1?b)?(t?x1)(t?1?x2)?0f(t)?f(x1)．
29．证明：令F(x)?f(x)?x?ax2?(b?1)x?c，
依题意有F(x)?a(x?x1)(x?x2)， 当x?(0,x1)时，
因为x1?x2，所以(x?x1)(x?x2)?0． 又a?0，所以F(x)?a(x?x1)(x?x2)?0．
即f(x)?x．又x1?f(x)?x1?[F(x)?x]?x1?x?a(x?x1)(x?x2)
?(x1?x)[1?a(x?x2)]，因为0?x?x1?x2?1a，所以x1?x?0，ax2?1，
即1?a(x?x2)?1?ax?ax2?1?ax2?0， 所以x1?f(x)?0，即f(x)?x1．综上，x?30．解：由??y?kx?(y?1)?3(x?1)2f(x)?x1．
，知k2x2?0?(2k?3)x?4?0．
32?k?12因为l与C有公共点，且k，所以??kx?0，于是可得?且k?0．
因为点Q(x0,y0),P(a,0)关于yx0?a?y0?k??2?2所以?y01????k?x0?a对称，
2，所以x0?a(1?k)1?k2．而?32?k?12,k?0，
所以x0?a(1?k)1?k22(?32?k?12,k?0)．
2当点Q在直线x?1上时，
a(1?k)1?k2?1，则k2?a?1a?1，而0?k2?94，
所以0?
a?1a?1?94，解得a??135或a?1．故实数a的取值范围是(??,?135]?(1,??)