数学分析第一章实数集与函数§2 数集· 确界原理一、有界集二、确界
三、确界的存在性定理四、非正常确界
*点击以上标题可直接前往对应内容确界原理本质上体现了实数的完备性，是本节学习的重点与难点.§2 数集·确界原理有界集确界确界的存在性定理
非正常确界
记号与术语
U(a;?)?{x||x?a|??}:点a的?邻域；
U(a;?)?{x|0?|x?a|??}:点a的?空心邻域；U?(a;?)?{x|0?x?a??}:点a的?右邻域；U?(a;?)?{x|0?a?x??}:点a的?左邻域；U(?;M)?{x||x|?M}:?的M邻域；U(??;M)?{x|x?M}:??的M邻域；U(??;M)?{x|x?M}:??的M邻域；maxS:数集S的最大值；minS:数集S的最小值.
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§2 数集·确界原理有界集确界确界的存在性定理
有界集
定义1非正常确界
设S?R,S??.(1)若?M?R,使得?x?S,x?M,则称M为S的一个上界,称S为有上界的数集.(2)若?L?R,使得?x?S,x?L,则称L为S的一个下界,称S为有下界的数集.(3)若S既有上界又有下界,则称S为有界集.其充要条件为:?M?0,使?x?S,有|x|?M.数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社§2 数集·确界原理有界集确界确界的存在性定理
非正常确界
(1?)若S不是有上界的数集,则称S无上界,即?M?R,?x0?S,使得x0?M.(2?)若S不是有下界的数集,则称S无下界,即?L?R,?x0?S,使得x0?L.(3?)若S不是有界的数集,则称S无界集,即?M?0,?x0?S,使得|x0|?M.数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社§2 数集·确界原理有界集确界确界的存在性定理
非正常确界
例1证明数集S?{2|n?N?}无上界,有下界.证取L= 1,则?x?2?S,x?L,故S有下界.?M?R,若M?1,取x0?2?M;若M?1，1nn取x0?2[M]?1?[M]?1?M,因此S 无上界.
?n2?1?n?N有界.例2证明数集S???+32n??22n?1n111证?n?N+,????1,333?2n2n2n22因此S有界.数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社