§2 数集·确界原理有界集确界确界的存在性定理
确界存在性定理
定理1.1（确界原理）非正常确界
设S?R,S??.若S有上界,则S必有上确界;若S有下界,则S必有下确界.数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社§2 数集·确界原理有界集确界确界的存在性定理
非正常确界
例4设A,B为非空数集.满足:?x?A,?y?B,有x?y.证明：数集A 有上确界，数集B 有下确界，且supA?infB.证由假设, B 中任一数y 都是A 的上界, A 中的任一数x 都是B 的下界. 因此由确界原理, A 有上确界, B 有下确界.
由定义, 上确界sup A 是最小的上界, 因此, 任意
y?B; sup A?y. 这样, sup A 又是B 的一个下界, 而inf B 是最大的下界, 因此sup A?inf B.
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非正常确界
,例5设S是R中非空有上界的数集(i)若a?R,定义S?a?{x?a|x?S},则sup{S?a}?supS?a;(ii)若b>0,定义bS?{bx|x?S},则sup{bS}?b?supS.证(i)?x?a?S?a,其中x?S,必有x?supS,于是
x?a?supS?a.对于???0,?x0?S,使x0?supS??,从而
x0?a?S?a,且x0?a?(supS?a)??,因此
高等教育出版社sup(S?a)?supS?a.数学分析第一章实数集与函数§2 数集·确界原理有界集确界确界的存在性定理
非正常确界
(ii)?bx?bS,其中x?S,必有x?supS,于是
bx?bsupS.???0,令???因此
?b?0,则存在x0?S,使x0?supS???,bx0?bsupS?b???bsupS??.这就证明了
sup{bS}?bsupS.数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社§2 数集·确界原理有界集确界确界的存在性定理
非正常确界
1.规定(i)?a?R,???a???;(ii)若S无上界,记supS???.若S无下界,记infS???.非正常确界2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界.例1supN???,inf{?2|n?N?}???.?1?x?A?.例2 设数集A?R?,B???x?求证:supA???的充要条件是infB?0.数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社n