§2 数集·确界原理有界集确界确界的存在性定理
非正常确界
确界
若数集S有上界, 则必有无穷多个上界, 而其中最小的一个具有重要的作用. 最小的上界称为上确界. 同样，若S有下界，则最大的下界称为下确界.
定义2设S?R, S??.若??R满足:(i)?x?S,x??;(ii)????,?x0?S,使得x0??,则称?是S的上确界,记为??supS.数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社§2 数集·确界原理有界集确界确界的存在性定理
非正常确界
定义3设S?R,S??.若??R满足:(i)?x?S,x??;(ii)????,?x0?S,x0??;则称?是S的下确界,记为??infS.注1由定义,下确界是最大的下界.
注2下确界定义中的(ii)亦可换成???0,?x0?S,x0????.数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社§2 数集·确界原理有界集确界确界的存在性定理
非正常确界
注3 条件(i) 说明?是S的一个上界, 条件(ii)说明
比?小的数都不是S的上界,从而?是最小的上界界,即上确界是最小的上界.注4显然,条件(ii)亦可换成:???0,?x0?S,x0????.数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社§2 数集·确界原理有界集确界确界的存在性定理
非正常确界
?1例3 设S??xx?1?,n?1,2,n?supS?1，infS?0.证先证sup S=1.
??,证明?1(i)?x?S,x?1??1;n1(ii)设??1.若??0，则取x0?1??S,x0??.2若??0,令??1???0,由阿基米德性,?n0,11使得??.取x0?1??S,则x0?1????.n0n0因此，supS?1.数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社§2 数集·确界原理有界集确界确界的存在性定理
非正常确界
再证infS?0.1(i)?x?S,x?1??0;n(ii)???0,?x0?0?S,x0??.因此infS?0.虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的存在性, 这是由于上界集是无限集, 而无限数集不一定有最小值, 例如(0, ?) 无最小值.以下确界原理作为公理,不予证明.
数学分析第一章实数集与函数高等教育出版社