… n K1j K2j … Kmj K1j2 K2j2 … Kmj2 SSj T＝?xi C?
i＝1… m K11 K21 … Km1 K112 K212 … Km12 SS1 … … K12 K22 … Km2 K122 K222 … Km22 SS2 … … … … … … … … … … … … K1k K2k … Kmk K1k2 K2k2 … Kmk2 SSk … xn … xn2 n 2 总平方和： 列平方和：
Tn SST＝x?＝i1n2i?C（?xi）2SST＝?xi－i＝1ni＝12nn2（?xi）12SSj＝?Kij－i＝1 （j＝1，2，...，k）ri＝1nmnm1 SS ＝ K 2 ? C 试验总次数为n，每个因素水平数为m个，每个水平作r次重复r＝n/m。 ?jijri＝1
总自由度： df T ＝n-1 因素自由度：
df＝m?1 ，m为因素水平个数j3.2.1 不考虑交互作用等水平正交试验方差分析
实例分析3 自溶酵母提取物是一种多用途食品配料。为探讨啤酒酵母的最适自溶条件，安排三因素三水平正交试验。试验指标为自溶液中
蛋白质含量（％）。试验因素水平如下表。
试验因素 水 平 温度（℃）A 1 2 3 50 55 58 pH值B 6.5 7.0 7.5 加酶量（％）C 2.0 2.4 2.8 试验方案及结果分析表 处理号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 K1j K2j A 1（50） 1 1 2（55） 2 2 3（58） 3 3 15.76 18.57 B 1（6.5） 2（7.0） 3（7.5） 1 2 3 1 2 3 25.18 21.41 C 1（2.0） 2（2.4） 3（2.8 2 3 1 3 1 2 22.65 21.45 空列 1 2 3 3 1 2 2 3 1 20.74 21.87 试验结果yi 6.25 4.97 4.54 7.53 5.54 5.5 11.4 10.9 8.95 T?65.58 K3j K1j2 K2j2 K3j2 31.25 248.38 344.84 976.56 18.99 634.03 458.39 360.62 21.48 513.02 460.10 461.39 22.97 430.15 478.30 527.62 1计算
(1)计算各列各水平的K值 计算各列各水平对应数据之和K1j、K2j、K3j及其平方K1j2、K2j2、K3j2。
1m2ssj??Kij?Cri?1T265.582C???477.86n9ssA?(2)计算各列平方和及自由度
同理，SSB=6.49，SSC=0.31， SSe=0.83（空列） 1?(248.38?344.84?976.56)?477.86?45.4自由度：dfA＝dfB＝dfC＝dfe＝3-1=2 3(3)计算方差
2 sA?1222(K11?K21?K31)?C3
SSA45.4??22.7dfA22sC?SSC0.31??0.155dfC22sB?SSB6.49??3.23dfB2SSe0.83??0.415dfe2
2显著性检验 se2?根据以上计算，进行显著性检验，列出方差分析表。 变异来源 A B C△ 误差e 误差e△ 总和 平方和 45.40 6.49 0.31 0.83 1.14 53.03 自由度 2 2 2 2 4 均方 22.70 3.24 0.16 0.41 0.285 F值 79.6** 11.4* Fa F0.05(2,4) =6.94 F0.01(2,4)=18.0 因素A高度显著，因素B显著，因素C不显著。因素主次顺序A-B-C
3优化工艺条件的确定 处理号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 K1j K2j K3j
A 1（50） 1 1 2（55） 2 2 3（58） 3 3 15.76 18.57 31.25 B 1（6.5） 2（7.0） 3（7.5） 1 2 3 1 2 3 25.18 21.41 18.99 C 1（2.0） 2（2.4） 3（2.8 2 3 1 3 1 2 22.65 21.45 21.48 空列 1 2 3 3 1 2 2 3 1 20.74 21.87 22.97 试验结果yi 6.25 4.97 4.54 7.53 5.54 5.5 11.4 10.9 8.95 本试验指标越大越好。对因素A、B分析，确定优水平为A3、B1；因素C的水平改变对试验结果几乎无影响，从经济角度考虑，选C1。
3.2.2 考虑交互作用等水平正交试验方差分析
实例分析４用石墨炉原子吸收分光光度法测定食品中的铅，为了提高测定灵敏度，希望吸光度越大越好。今欲研究影响吸光度的因素，确定
最佳测定条件。 试验方案及结果分析表 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 K1j K2j K1j-K2j SSj A 1 1 1 1 2 2 2 2 9.9 10.31 -0.41 0.021 B 1 1 2 2 1 1 2 2 9.42 10.79 -1.37 0.235 A×B 1 1 2 2 2 2 1 1 10.21 10 0.21 0.0055 C 1 2 1 2 1 2 1 2 10.23 9.98 0.25 0.0078 A×C 1 2 1 2 2 1 2 1 10.24 9.97 0.27 0.0091 B×C 1 2 2 1 1 2 2 1 10.12 10.09 0.03 0.0001 空列 1 2 2 1 2 1 1 2 10.19 10.02 0.17 0.0036 吸光度 2.42 2.24 2.66 2.58 2.36 2.4 2.79 2.76 表 方差分析表 变异来源 A B A×B△ C A×C B×C △ 误差e 误差e △ 总 和 平方和 自由度 均方 0.0210 0.2346 0.0055 0.0078 0.0091 0.0001 0.0036 0.0923 0.2818 1 1 1 1 1 1 1 3 0.021 0.235 0.006 0.008 0.009 0.000 0.004 0.00308 F值 6.82 76.19 2.53 2.96 临界值Fa F0.05(1,3)=10.13 F0.01(1,3)=34.12 显著水平 ** 因素B高度显著，因素A、C及交互作用A×B、A×C、B×C均不显著。 表 试验方案及结果分析表 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 K1j K2j K1j-K2j SSj A 1 1 1 1 2 2 2 2 9.9 10.31 -0.41 0.021 B 1 1 2 2 1 1 2 2 9.42 10.79 -1.37 0.235 A×B 1 1 2 2 2 2 1 1 10.21 10 0.21 0.0055 C 1 2 1 2 1 2 1 2 10.23 9.98 0.25 0.0078 A×C 1 2 1 2 2 1 2 1 10.24 9.97 0.27 0.0091 B×C 1 2 2 1 1 2 2 1 10.12 10.09 0.03 0.0001 空列 1 2 2 1 2 1 1 2 10.19 10.02 0.17 0.0036 吸光度 2.42 2.24 2.66 2.58 2.36 2.4 2.79 2.76 交互作用均不显著，确定因素的优水平时可以不考虑交互作用的影响。对显著因素B，通过比较确定优水平为B2；同理A取A2，C取C1或C2。优组合为A2B2C1或A2B2C2。各因素对试验结果影响的主次顺序为：B、A、A×C、C、A×B、B×C。
3.2.3 重复试验的方差分析
（1）假设每号试验重复数为s，在计算K1j，K2j，…时，是以各号试验下“s个试验数据之和”进行计算。 （2）重复试验时，总平方和SST及自由度dfT按下式计算。
2 T 式中，n－正交表试验号 S－各号试验重复数
SST???xit?i?1t?1ns2ns Xit－第i号试验第t次重复试验数据 T－所有试验数据之和（包括重复试验）
T???xiti?1t?1nsdfT?ns?1（3）重复试验时，各列平方和计算公式中的水平重复数 改为“水平重复数乘以试验重复数”，
修正项C也有所变化，SSj的自由度dfj为水平数减1。 自由度dfe等于dfe1和dfe2之和，即
1mT22SSj??Kij?rsj?1nsdfj?m?1SSe?SSe1?SSe2MSe2?（4）重复试验时，总误差平方和包括空列误差SSe1和重复试验误差SSe2，即
SSe2Se2和dfe2的计算公式如下： （5）重复试验时，用 dfe 2 检验各因素及其交互作用的显著性。当正交表各列都已排满
dfe?dfe1?dfe21nsSSe2???xit??(?xij)2si?1t?1i?1t?1dfe2?n(s?1)2ns时，可用
MSe2?SSe2dfe2来检验显著性。
实例分析5 在粒粒橙果汁饮料生产中，脱囊衣处理是关键工艺。为寻找酸碱二步处理法的最优工艺条件，安排4因素4水平正交试验。表
因素水平表
试验因素 水平 NaOH％ A 1 2 3 4 计 算
（1）计算各列各水平K值 （2）计算各列偏差平方和及其自由度
0.3 0.4 0.5 0.6 Na5P3O10 ％ B 0.2 0.3 0.4 0.5 处理时间 min C 1 2 3 4 处理温度℃ D 30 40 50 60 K11?6?12.5?17.5?19.2?55.2K21?19.5?14.5?21.6?25.2?80.81m2T21m23032SSj??Kij???Kij?16?3rsj?1ns4?3j?11m2??Kij?1912.6912j?1 ... K45?19.2?19.5?18.9?19.2?76.81
SSA?SS1?(3047.04?...?6320.25)?1912.69?49.99 12同理可计算SSB=SS2＝33.42，SSC＝29.01，SSD=13.54，SSe1=9.65
1632it1163SSe2???x??(?xij)2SSe?SSe1?SSe2?9.65?2.01?11.66 3i?1t?1i?1t?1 2 2 2 1 2 2 dfA=dfB=dfC=dfD=4-1=3 2?(2?2?...?6.9)? (6?12.5?...?20.4) 3 dfe1=df空列=4-1=3 ? 2050 . 32 ? 2048 .31 ? 2 .01 dfe2=n(s-1)=16(3-1)=32
显著性检验
dfe?dfe1?dfe2?3?32?35MSA?（3）计算方差
MS因素?SS因素df因素SSA49.99??16.66dfA3同理： MSB?11.14 MSC?9.67 MSD?4.51 MSe＝0.33
变异来源 ABCD误差e1重复误差e2 误差e总和 确定最优条件
平方和 49.9933.4229.0113.549.652.0111.66137.63自由度 33333323547均方 16.6611.149.674.51F值 50.4833.7629.313.67FaF0.05(3,35)=2.88F0.01(3,35)=4.40四个因素的作用高度显著。因素作用的主次顺序为A、B、C、D。通过比较Kij值，可确定各因素的最优水平为A3、B4、C3、D3。最优水平组合A3B4C3D3。
一次回归正交设计
实例为了研究某作物的栽培技术，选择影响作物产量的3个主要因素：水分状况(全生育期土壤湿度占田间持水量的百分比)、追施氮肥量、
密度，试验指标为产量y（kg/小区）。进行一次回归正交设计并分析。 (1) 列出因素水平编码表 名称 上水平(+1) 下水平(-1) 零水平(0) 变化区间 编码xj 1 -1 0 水分状况Z1（％） 95 75 85 10 追氮量Z2(kg/hm2) 密度Z3(万株/hm2) 40 20 30 10 65 45 55 10 7(2) 列出试验方案并实施
试验要求考察3个因素及两两因素间的交互作用，并且需要对失拟性进行检验， L 8 ( 2 ) 零水平试验点重复2次。 表6 三因素一次回归正交设计试验方案与结果表 处理号 试验设计 X1 X2 X3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 0 0 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 0 0 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 0 实施方案 水分状况 Z1（％） 95 95 95 95 75 75 75 75 85 85 追氮量 Z2(kg/hm2) 40 40 20 20 40 40 20 20 30 30 密度Z3 (万株/hm2) 65 45 65 45 65 45 65 45 55 55 2.1 2.3 3.3 4.0 5.0 5.6 6.9 7.8 4.5 4.3 产量y （kg/小区） (3) 计算回归系数及偏回归平方和