一 问题分析
1949年7月16日，美国科学家子啊新墨西哥州的沙漠试爆了全球第一颗原子弹（图1），这一事件令全世界为之震惊，并从某种程度上改变了第二次世界大战以及战后世界的历史。但在当时，有关原子弹爆炸的资料都是保密的，一般人无法得到任何有关的数据或者影像资料，因此无法比较准确地了解这次爆炸的威力究竟有多大。两年以后，美国政府首次公开了这次爆炸的录像带，但是没有发布任何其他的相关的资料。英国物理学家Taylor(1886-1975)通过研究这次爆炸的录像带，建立数学模型对这次爆炸所释放的能量进行了估计，得到的估计值为19.2?103t(103相当于1000tTNT的核子能量)。后来正式公布的信息显示，这次爆炸实际释放的能量为21?103t，与Taylor的估计值想当接近。
除开公开的影像资料，Taylor不掌握这次原子弹爆炸的其他任何信息，他如何估计爆炸释放的能量呢？物理常识告诉我们，爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播，爆炸产生的能量越大，在一定时刻冲击波传播的越远，而冲击波有通过爆炸产生的“蘑菇云”反映出来。Taylor研究这次爆炸的录像带，测量出了从爆炸开始，不同时刻爆炸所产生的“蘑菇云”的半径，表1是他测量出的时刻t所对应的“蘑菇云”的半径r。
图1原子弹爆炸示意图
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表1 时刻t所对应的“蘑菇云”的半径r
t r(t) 0.10 11.1 0.24 19.9 0.38 25.4 0.52 28.8 0.66 31.9 Taylor是首先用量纲分析方法建立数学模型，然后辅以小型试验，又利用表1的数据，对原子弹爆炸的能量进行估计的。
量纲齐次原则 量纲分析是20世纪初提出的在物理和工程等领域的建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定物理量之间的关系。
许多物理量是有量纲的，在物理研究中把若干物理量的量纲作为基本量纲。他们是相互独立的，另一些物理量的量纲则可根据其定义或物理定律由基本量纲推导出来，称为导出量纲。例如：在研究力学问题时，通常将长度l、质量m和时间t的量纲作为基本量纲，记以相应的大写之母L、M和T。在量纲分析中，物理量q的量纲记作[q],于是有[q]=L,[m]=M, [t]=T.而速度v、加速度a的量纲可以按照其定义表为?v??LT?1，?a??LT?2，力f的量纲则应根据牛顿第二定律用质量和加速度的乘积表示，即?f??LMT?2，这些就是导出量纲。
有些物理常数也有量纲，如在万有引力定律f?km1m2中引力常数2r t r(t) 0.80 34.2 0.94 36.3 1.08 38.9 1.22 41.0 1.36 42.8 t r(t) 1.50 44.4 1.65 46.0 1.79 46.9 1.93 48.7 3.26 59.0 t r(t) 3.53 61.1 3.80 62.9 4.07 64.3 4.34 65.6 4.61 67.3 t r(t) 15.0 106.5 25.0 130.0 34.0 145.0 53.0 175.0 62.0 185.0 fr2，k的量纲可以从力f、长度r和质量m的量纲得到：k?m1m2
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[k]?LMT?2?L2?M?2?L3M?1T?2。对于无量纲的量 ?，记[?]?L0M0T0?1。
用数学公式表示一些物理量之间的关系是公式等号两端必须有相同的量纲，称为量纲齐次性（Dimensional Homogeneity）.量纲分析就是利用量纲齐次原则来建立物理量之间的数学模型。先看一些简单的例子。
例 单摆运动 这是一个大家都熟知的物理现象。质量m的小球系在长度为
l的线的一端，稍偏离平衡位置后小球在重力mg作用下（g为重力加速度）作往
复摆动，忽略阻力，求摆动周期t的表达式。
在这个问题上出现的物理量有t，m，l，g，设它们之间的关系是
t??m?1l?2g?3 1）
其中?1，?2，?3是待定常数，?是无量纲的比例系数。（1）式的量纲表达式为
?3?1?2[t]?[m][l][g] 2）
将[t]?T，[m]?M，[l]?L，[g]?LT?2代入得 按照量纲齐次原则有
1??3?2T?M?1?LT?3 3）
?0??1???2??3?0 4） ??2?3?1?（4）的解为?1?0,?2?1,?3??1，代入（1）式得 22
t??l 5） g我们看到，用非常简单的方法得到的（5）式与用比较深入的力学知识推出的结果是一样的。
为了导出用量纲分析建模的一般方法，将这个例子中的各个物理量之间的关
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系写作
f(t,m,l,g)?0 6）
这里没有因变量与自变量之分，进而假设（6）式形如
ty1my2ly3gy4?? 7）
其中y1,y2,y3,y4是待定常数，?是无量纲常数。将t,l,m,g的量纲用基本量纲
L,M,T表示为[t]?L0M0T1，[m]?L0M1T0，[l]?L1M0T0，[g]?L1M0T?2，则（7）
式的量纲表达式可写作
02304(L0M0T1)y1(L0M1Ty)(L1M0yT)(L1?M0yT?)200L08）MT
即
由量纲齐次原则有
Ly3?y4My2Ty1?2y4?L0M0T0 9）
y3?y4?0??y2?0??y?2y4?0?1 10)
方程组10）有一个基本解
代入7）式得
y?(y1,y2y,3y,T4)?(2?,0,T 1, 1) 11）
t2l?1g?? 12）
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6）式可以等价地表示为
F(?)?0 13）
12），13）两式式量纲分析方法从6）式导出的一般结果，前面的5）式只是它的特殊表达形式。
把6）到13）式得推导过程一般化，就是著名的白金汉?定理。
?定理 设m个有量纲的物理量q1,q2,...,qm之间存在与量纲单位的选取无关的
物理定律，数学上可表示为
f(q1,q2,...,qm)?0 14）
若基本量纲记作X1,X2,...,Xn（n?m），而q1,q2,...,qm的量纲可表为
nij[q]?X?i,j?1,2,...,m 15） j
ai?1矩阵A?(aij)n?m称量纲矩阵，若A的秩
设线性齐次方程组 的m?r个基本解记作
RankA?r 16）
Ay?0,y?(y1,y2,...,ym)T 17）
y(s)?(y1(s),y2(s),...,ym(s))T,s?1,2,...,m?r 18）
则存在m?r个相互独立的无量纲量
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