???qj?1ms)y(jj,s?1,2,...,m?r 19）
且
F(?1,?2,...,?m?r)?0 20）
19），20）与14）式等价，F是一个未定的函数关系。
二 模型假设
1. 原子弹的爆炸是在瞬间完成的，不考虑爆炸过程的核反应过程。 2. 原子弹爆炸产生的能量主要是以冲击波的兴衰表现出来。不考虑其它（如辐射）的影响。
3. 只考虑冲击波的动力学特征。
4. 冲击波可以通过爆炸形成的“蘑菇云”来表征。
三 符号说明
符号 t E ? P r 说明 时间（s） 能量（J） 空气密度（kg/m3） 大气压强（Pa） 半径（m）
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四 模型建立
原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模
记原子弹爆炸能量为E，将“蘑菇云”的形状近似的看成一个球形，记时刻与r有关的物理量还可能有“蘑菇云”周围的空气密度（记为?）t球的半径为r，
和大气压强（记为P），于是r作为t的函数还有与E，P，?有关，要寻求的关系是
更一般的形式记作
r??(t,E?,,P ) 21）
f(r,t,E,P?,?) 0 22）
其中有5个物理量，22）相当于?定理的14）式，下面利用?定理解决这个问题。
取长度L，质量M和时间T为基本量纲，22）中各个物理量的量纲分别是
2?2?3?1?2[r]?L,[t?]T,E[?]LMT?,[?]LM,?P[]LT23） M
由此得到量纲矩阵
A3?5?102?3?1?????00111? 24） ?01?20?2???因为A的秩是3，所以齐次方程 有5-3=2个基本解。
令y1?1,y5?0，得到一个基本解y?(1,?2,?1,1,0)T；令y1?0,y5?1，
555Ay?0,y?(1y,2y,3y,4y,T5y ) 25）
得到另一个基本解y?(0,65,?25,?35,1)T。由这2个基本解可以得到2个无量纲量
?1?rtE??r(?25?1515?tE2) 26）
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?2?tE?65?25?35t6?551?(32) 27）
?E且存在某个函数F，使得 与22）式等价。
为了得到形如21）式得关系，取28）式得特殊形式?1??(?2)（其中?是某
F(?1,?2)?0 28）
个函数），由26），27）式即
1t6P515 r(2)??(23) 29）
tE5E??于是
t6P51)?(23)5 30） r?(?E?t2E函数?的具体形式需要采用其他方式确定，30)式就是用量纲分析方法建立的、估计原子弹爆炸能量的数学模型。
原子弹爆炸能量估计的数值计算
为了利用表1中的t和r的数据，由30）式确定原子弹爆炸的能量E，必须先估计无量纲量?(?2)的大小。
Taylor认为，对原子弹爆炸来说，所经历的时间非常短，而释放的能量非常。
15t6?51仔细分析27）式可知，?2?(32)5?0。于是?(0)可看作一个比例系数?，将
?E30）式记作
r??(t2E?) 31）
15为了确定?的大小，Taylor借助一些小型的爆炸试验的数据，最终决定取??1，这样就得到能量E的近似估计 E??r5t28
32）
利用表1中的时刻t所对应的“蘑菇云”的半径r作拟合来估计能量E，相当于取32）式右端的平均值，取空气密度为??1.25kg/m3，可得到
32E?8.2825?1013J。查表可知10t?4.1?841J1，0所以爆炸的能量是
19.7957?103t,与实际值21?103t相差不大。
31）或32）式还表明，当E,?一定时，r与t成正比，我们可以用表1的数据检验一下这个关系。设
25r?abt 33）
其中a,b是待定系数，对33）式取对数后可以用线性最小二乘法拟合，根据表1中t和r的资料确定。经过计算得到b?0.4058，与量纲分析得到的结果非常接近。33）式与实际数据拟合的情况如图2.
250200150100500010203040506070
图2 、33）式（曲线）与实际数据（+）的拟合
五 模型检验
量纲分析在物理模拟中的应用 当直接研究实际生活中的原型
遇到困难时，一种解决办法就是在实验室条件下，按照一定的比例尺构造它的物
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理模型，通过队名的研究得出原型的结果，成为物理模拟。量纲分析可以指导物理模拟中比例尺的确定。
为研究大海波浪对船舶的阻力，建造船舶模型进行物理模拟。根据经验和物理知识，相关的物理量除阻力f外，有船舶的速度v、船体尺寸l、浸没面积s、海水密度?和重力加速度g，将它们的关系记作
利用?定理可以得到
?(f,v,l,s?,,g?) 0 34）
?12?1?fl?g,?2?vl?3?1?1g?12,?3?l?2s,F(?1,?2,?3)?0 35）
由35）式写出阻力f的显式表达式
f?l3?g?(?2,?3) 36）
将上述物理量和35），36）式对应于原型船，用f?,v?,l?,s?,??,g?及
????3??1??1???12??2??????fl?g,??vl,??ls,F(?231,?2,?3)?0 37） 1
??f??l?3??g??(?2,?3) 38）
对应于模型船，注意36)和38）中的函数?是一样的。于是当无量纲量
?2??2?,?3??3?，即
由36）和38）可得
vv?ss??,??2??l2llglg 39）
fl3?g??3???l?g 40） f
?????g?g海水的密度和重力加速度的条件容易满足，所以由39）式，在
进行物理模拟时只需要保证
v?? v
lsl2,??(?)?lsl 41）
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