就有
fl3?()??l f 42）
这样，确定了原型和模型船体的比例l:l，只要模拟时使得41）式成立，在测得
?f模型船所受阻力后，就可由42）式计算原型船受的阻力f了。
?抛射问题 在星球表面以初速度v竖直向上发射火箭，记星球的半径为
r，星球表面重力加速度为g，忽略阻力，讨论发射高度x随时间t的变化规律。 设x轴竖直向上，在发射时刻t?0火箭高度x?0。火箭和星球的质量记作m1和
m2，则由牛顿第二定律和万有引力定律可得
m1x????k
m1m2(x?r)2 43）
??xx?0以时??g代入43）式，并注意初始条件，抛射问题满足如下方程
???r2g?x??(x?r)2???x(0)?0?x?(0)?v??? 44）
44）的解可表示为
x?x(t;r;v;g) 45）
即发射高度x是以r,v,g为参数的时间t的函数。这里的目的不是研究这个函数的具体形式，而是讨论用无量纲化方法简化它的途径。
45）式包含3个独立参数r,v,g，由45）式得到的进一步的结果，如火箭到达最高点的时间
tM?t|x??0，必定是这3个参数的函数tM??(r,v,g)。如果方程
44）变得稍微复杂以致必须用数值发求解时，对不同的参数r,v和g，tM的竖直就要用3维表格给出。用无量纲化的方法可以减少独立参数的个数，达到简化模型的目的。
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以长度和时间量纲L,T为基本量纲，问题中的变量x,t和参数r,v,g的量纲表达式为
[x]?L,[t]?T,[r]?L,[v]?LT?1,[g]?LT?2
所谓无量纲化是指：对于变量x和t分别构造具有相同量纲的额单数组合xc和tc使新变量
x?xt,t?xctc
为无量纲量。xc称特征长度，tc称特征时间，统称特征尺度或参考尺度。利用新变量x和t，表达式45）可以简化。
特征尺度xc和tc由参数r,v,g构成，并应与x和t有相同的量纲，即
[xc]?L,[tc]?T。这样的xc和tc由多种构造方法，下面举例几种。
?1x?r,t?rvcct ?1、令，则 x ? x / r , vt / r ，利用求导数规则可以算出
dx??vxdtv2d2xv2?????x?x2rdtr ??vx?和??x，方程39）在在新变量x,t下的表达式为 x对t的导数以下简记为x1v???,????x??2(x?1)rg??x(0)?0,x?(0)?1?2 46）
46）的解可表示为
x?x(t;e) 47）
它只含一个独立参数?，不难验证?式无量纲量。原方程的解x?x(t;r;v;g)中的3个参数以无量纲组合形式?出现在表达式47）中，简化了原来的结果。
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2、令
xc?r,tc?rg?1，类似的计算可将方程44）化为
??1???x?(x?1)2???x(0)?0?2v?(0)??x?,???rg?其解的表达式仍为47）式
2?1?1x?vg,t?vgcc3、令，方程44）化为
48）
???1v2,???x??2(?x?1)rg??x(0)?0,x?(0)?1?其解的表达式也是47）式。
49）
还可以构造其他形式的特征尺度xc和tc，得到其他形式的方程。以上3种构
造特征尺度的方法虽然把方程44）的解45）式简化为47）式这一点上是共同的，但是进一步分析发现，他们之间仍有重要差别。
我们知道，按照今天的技术，在地球表面发射火箭时，初速v将满足
3? 10? 8000( rg ? 6370 ? 9.8 ? m / s ) ?? v 所以必然有???1，既然?如此之小，能不能在方程46），48），49），中舍
弃以?为因子的项，从而得到方程的近似解呢？ 如果在方程46）中令??0，则46）变为
1?0,2 ( x?1) 50） ?(0)?1x(0)?0,x
50）式显然无解，所以不能再方程46）中舍弃?的项。 如果在方程46）中令??0，则48）变为
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1??x??, 2(x?1)
?,0 )? x ( ? 0 x ( 0 ) 0 51）
x(t)?051）式的解显然满足 ，而原方程44）的解x(t)?0，所以不能从方程48）得到原方程的近似解，即不能再48）中舍弃?的项。
如果在方程49）中令??0，则49）变为
?? ? ? 1, x
? x (0) ? 0, x (0) ? 1 52）
52）的解显然为 2t x(t)???t 2 53） 代回原变量 x和t，53）式等价于
x(t)??
1gt2?vt2 54）
不难看出，如果在原抛射问题中假定：火箭发射过程中受到星球引力 m1g不变，
那么微分方程为
???gx ??? ?x(0)?0 ? ? ( 0 ) ? v 55） ?x
54）式正是方程55）的解，而将55）与原方程44）对比，因为发射高度x?r，所以55）是44）的近似方程，这就说明可以在方程49）中舍弃?的项，得到近似解。
第3中构造特征尺度xc和tc的方法之所以能够忽略?的项，成功的得到原问
题的近似解的原因，在于xc和tc选的合适。从物理学容易知道，当初速度比较小时，火箭在定常引力m1g作用下到达最高点的时间为g，到达的最高距离为v2?12?12g，所以选择tc?vg,xc?vg，与t和x的大小相当。这样，无量纲量
v 14
x?xt,t?xctc大体具有单位尺度，于是t,x,x,x组成的新方程中，含有因子?的
???项相对于不含?的项而言，就可以舍弃了。
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参考文献
《数学建模与数学实验（第3版）》 高等教育出版社 2008.1 《常用数学软件教程》 人民邮电出版社 2008.10 《数值分析与应用》 国防工业出版社 2007.1 《数学规划[M]》山东教育出版社，1997.12 《数学模型（第四版）》高等教育出版社，2011.1
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