重，最后根据公式（3-5）、（3-6）得到各三级评价指标的融合权重，即监测项目层的融合权重如表3-2所示：
表3-2 三级评价指标的融合权重
三级评价指标 累积沉降值 差异沉降值 拱顶土压力增大系数 钢筋应力差控制系数 环向接缝宽度 纵向接缝宽度 环向错台 径向错台 环缝错齿
纵缝错齿 螺栓应力与强度之比 裂缝宽度 裂缝密度 剥落区域直径 衬砌强度降低比 每100m2 渗漏点 单点浸湿面积 渗漏水量 PH值中性偏离量 0.1428 0.1432 0.2 0.2 0.3 0.3 0.32 0.26 0.28 0.14 0.1426 0.1444 0.18 0.18 0.32 0.32 0.29 0.27 0.26 0.18 0.1427 0.1438 0.19 0.19 0.31 0.31 0.305 0.265 0.27 0.16 主观权重 0.29 0.21 0.29 0.21 0.1428 0.1428 0.1428 0.1428 0.1428 客观权重 0.249 0.251 0.249 0.251 0.1426 0.1426 0.1426 0.1426 0.1426 融合权重 0.2695 0.2305 0.2695 0.2305 0.1427 0.1427 0.1427 0.1427 0.1427 同理，本文得到三级指标的实际权重为，其所在二级指标的融合权重乘以三级指标的融合权重，例：L11累积沉降值的实际权重=外荷载作用 L1的融合权重（0.186）乘以L11累积沉降值的融合权重（0.2695）=0.050127，同理求得19个三级评价指标的实际权重，如表3-3所示，
表3-3 各三级评价指标的实际权重
外荷载作用 L1 评价指标 L11累积沉降值 L12差异沉降值 L13拱顶土压力增大系数 25 权重 ω1 ω2 ω3 实际权重 0.050127 0.042873 0.050127
L14钢筋应力差控制系数 S11环向接缝宽度 S12纵向接缝宽度 隧道结构应力变形 S1 S13环向错台 S14径向错台 S15环缝错齿 S16纵缝错齿 S17螺栓应力与强度之比 M11裂缝宽度 材质劣化 M1 M12裂缝密度 M13剥落区域直径 M14衬砌强度降低比 W11每100m2 渗漏点 渗漏水 W1 W12单点浸湿面积 W13渗漏水量 W14PH值中性偏离量 ω4 ω5 ω6 ω7 ω8 ω9 ω10 ω11 ω12 ω13 ω14 ω15 ω16 ω17 ω18 ω19 0.042783 0.0448078 0.0448078 0.0448078 0.0448078 0.0448078 0.0448078 0.0451532 0.03534 0.03534 0.05766 0.05766 0.09577 0.08321 0.08478 0.05024 3.2 蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法与传统的确定性数值方法不同，其用以解决概率统计或者随机性中非确定性问题的数值方法。蒙特卡洛方法（Monte Carlo Method），也称为统计试验法，融合了理论物理学的两大主要学科：即用来处理布朗运动或者是随机游动试验的随机过程的概率统计理论，另外一门主要学科是位势理论，用以研究均匀介质的稳定状态，它的基本思路是通过寻找一种概率统计的相似体，采用实验取样的过程来，并且使用一系列的随机数来近似解决数学问题的方法。 3.2.1 蒙特卡洛方法的原理
蒙特卡洛（MCM）方法称为随机模拟，也称为随机模拟（Random simulation）方法。它的研究思路是：首先需要构建一个随机模拟或者概率分布模型的过程，让它的参数等于所求问题的解；其次观察并抽样、试验与计算该概率分布模型或随机模拟过程所输入参数的统计特征，最后得到这个所求解的近似值。
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具体数学过程是，随机变量ξ的数学期望E(ξ)是所要求的的量x，可以对ξ进行N次重复性的抽样试验，从而近似确定该x，然后产生相互独立的ξ值的序列ξ1，ξ2，?ξN，并且计算其算术平均值：
1?N?N??n?1NN ??采用柯尔莫哥罗夫加强大数定理，有P?lim?N?x??1，由此可见，当N足够大?n???时，?N?E(?)?x成立的概率就是1，也可以用?N作为所求量x的估值。
用蒙特卡洛方法进行求解时，模拟一个随机事件B，假设其发生概率为q。有随机变量为ξ，如果在一次随机试验中，事件B出现，那么取值为1；假如事件B不出现，则取值为0。令p=1—q，则随机变量ξ的数学期望E(?)?q，这个就是该一次试验中事件B出现的概率值。ξ的方差D(?)?pq。另外，假设事件B在M次试验中出现M次，则其观测频数y也是随机变量，其数学期望E(y)?Mq，它的方差
y，表示它的观察频率，那么按照柯尔莫哥罗夫定理，当M足Myy?E(?)=q成立的概率为1。因此由上述模型得到的频率Q?够大时，D?近似MMD(y)?Npq。令D?地等于所求量q。上述数学分析表示概率被频率收敛，并可以用样本方差
D(q)?q(1?q)作为理论方差D(q)的估计值。 M?1总体说来，蒙特卡洛方法可以根据其涉及随机过程的形态与结果，解决各种数学、物理、工程技术以及生产管理等方面的问题。使用该方法解决和处理的问题可分为两类：
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3.2.2 蒙特卡洛方法的特点
蒙特卡洛方法是用某个随机变量X的简单t2子样x1,x2,...,xn的算术平均值
1N根据柯尔莫哥罗夫加强大数定量，当E(x)?I时，xN??xn作为所求解I的近似值。
Nn?1它的算术平均值
? 以概率1收敛到I，即P?limx?1???1N?n???2按照中心极限定理,对于任何???0有P(xn?1?)?N2?这表明，不等式
xn?1???????e01?t22dt?1??=1-α
???N （3-7）
近似地以概率1一α成立。通常当α非常小时，α被称为显著水平，1一a被称为置信水平。σ为随机变量X的标准差。结果（3-7）表明，为O（
）。
收敛到I的速度的阶
如果σ≠0，那么Monte Carlo方法的误差ε为
?????N （3-8）
上式中的正态??与a相互之间一一对应。
分析公式（3-8），可以得出，蒙特卡洛方法的误差是由ε，σ和
所共同决定
的。在σ不变的情形下,提高一位数字的精确度,则要付出一百倍的工作量。那么从另外的视角来看,在误差ε不变以及通过抽样实验产生一个x的平均费用C固定的情形下,要达到减少一百倍工作量的目的，减小σ十倍即。若费用C是变化的，会随着
????????方法的改变而改变时，因为N????，NC?????2C，所以，蒙特卡洛方法
??????
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的效率跟?2C成线性的正比关系。总而言之,增加抽样数N或者是简单的减小标准差σ，并非是提高蒙特卡洛方法效率的重要方向，为了真正提高蒙特卡洛模拟方法的效率，正确的做法是一方面减小标准差，另一方面兼顾考虑费用的大小，从而使方差与费用C的乘积达到最小。
通过以上的介绍可以看出，蒙特卡洛数值计算方法的步骤、结果精度以及收敛性方面都具有独特风格。另外，下文将从三个方面来介绍蒙特卡洛方法的优点和其与一般数值方法的不同：
（1） 实现蒙特卡洛方法简单 例如用平均值方法计算定积分
的数值，其计算步骤为：
i. 产生均匀分布在[0，1]上随机数rn(n=1，2，…，N)； ii. 计算g(rn) (n=1，2，…，N)；
1Niii. 用平均值=I??g(rn)作为I的近似值。
Nn?1从上述计算程序可以看出，通过大量重复而简单的抽样试验来实现蒙特卡洛方法计算积分的基本原理，故其程序、方法均较简单。在求解椭圆形差分方程边值问题时，可以使用随机游动方法，只用求解所需要的某个点上的值，不用求出所有网格点上的值。
（2） 收敛的速度和概率性跟问题的维数无关
概率意义下的收敛才是蒙特卡洛方法的收敛的本质。也就是说，蒙特卡洛方法 的误差并不能确定其不超过某个具体值，但是能清晰地指明其误差概率接近1，并且不超过某个具体的界限。从这一点看,一般数值方法的收敛意义是一致收敛或者说是一般意义下的收敛，这是蒙特卡洛方法与一般数值方法的区别所在。蒙特卡洛方法的主阶仅仅是O(N)，它的收敛速度比一般数值方法要慢，由此可见，对于精度要求很高的问题并不能采用的蒙特卡洛方法了解决。由公式（3-8）可见，标准差σ与
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