21．已知函数f（x）=xlnx，
（1）求函数f（x）的单调区间和最小值． （2）若函数F（x）=
在[1，e]上的最小值为，求a的值．
考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质． 专题：导数的综合应用． 分析：（1）由已知得f′（x）=lnx+1（x＞0），由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间和最小值．
（2）F′（x）=，由此根据实数a的取值范围进行分类讨论，结合导数性质能求出a的
值．
解答： 解（本小题满分12分） （1）∵f′（x）=lnx+1（x＞0）， 令f′（x）≥0，即lnx≥﹣1=lne． ∴x≥e=，∴x∈[，+∞）．
同理，令f′（x）≤0，可得x∈（0，]．
∴f（x）单调递增区间为[，+∞），单调递减区间为（0，]， 由此可知y=f（x）min=f（）=﹣． （2）F′（x）=
，
﹣1
﹣1
当a≥0时，F′（x）＞0，F（x）在[1，e]上单调递增， F（x）min=F（1）=﹣a=， ∴a=﹣?[0，+∞），舍去．
当a＜0时，F（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增， 若a∈（﹣1，0），F（x）在[1，e]上单调递增， F（x）min=F（1）=﹣a=， ∴a=﹣?（﹣1，0），舍去；
若a∈[﹣e，﹣1]，F（x）在[1，﹣a]上单调递减，在[﹣a，e]上单调递增， ∴F（x）min=F（﹣a）=ln（﹣a）+1=， a=﹣∈[﹣e，﹣1]； 若a∈（﹣∞，﹣e），F（x）在[1，e]上单调递减， F（x）min=F（e）=1﹣
，
∴a=﹣?（﹣∞，﹣e），舍去．
综上所述：a=﹣．
点评：本题考查函数的单调区间的最小值的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．
22．已知点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0）．直线AT，BT交于点T，且它们的斜率之积为常数﹣λ（λ＞0，λ≠1），点T的轨迹以及A，B两点构成曲线C． （1）求曲线C的方程，并求其焦点坐标；
（2）若0＜λ＜1，且曲线C上的点到其焦点的最小距离为1．设直线l：x=my+1交曲线C于M，N，直线AM，BN交于点P． （ⅰ）当m=0时，求点P的坐标；（ⅱ）求证：当m变化时，P总在直线x=4上．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）设T（x，y），由直线的斜率公式，化简整理讨论即可得到曲线方程；
（2）由于0＜λ＜1，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求得焦点和a﹣c为最小值，解得λ，进而得到椭圆方程，
（ⅰ）当m=0时，由x=1代入椭圆方程，即可得到P的坐标；（ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，
y2），联立
及x=my+1，运用韦达定理和恒成立思想，即可得到定直线x=4．
，
解答： 解：（1）设T（x，y），则
化简得，又A，B的坐标（﹣2，0），（2，0）也符合上式，
故曲线C：；
当0＜λ＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，焦点为
，
当λ＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，焦点为
；
（2）由于0＜λ＜1，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，其焦点为
，
椭圆的长轴端点到同侧焦点的距离，是椭圆上的点到焦点的最小距离， 故
，∴
，曲线C的方程为
；
（ⅰ）联立解得，
或
当3）， 当
时，，解得P（4，
时，由对称性知，P（4，﹣3），
所以点P坐标为（4，3）或（4，﹣3）；
（ⅱ）以下证明当m变化时，点P总在直线x=4上． 设M（x1，y1），N（x2，y2），联立消去x得：（3m+4）y+6my﹣9=0，
2
2
及x=my+1，
，
直线，
消去y得，
以下只需证明成立． 而
（※） 对于m∈R恒
所以（※）式恒成立，即点P横坐标总是4，点P总在直线x=4上， 故存在直线l'：x=4，使P总在直线l'上．
点评：本题考查曲线方程的求法，主要考查椭圆的性质和方程的运用．联立直线方程运用韦达定理以及恒成立思想的运用，属于中档题．