第三篇 电磁学
第8章 磁场
8-10一均匀密绕直螺线管的半径为 ，单位长度上有 匝线圈，每匝线圈中的电流为 ，用毕奥—萨伐尔定律求此螺线管轴线上的磁场。
分析：由于线圈密绕，因此可以近似地把螺线管看成一系列圆电流的紧密排列，且每一匝圆电流在轴线上任一点的磁场均沿轴向。
解： 取通过螺线管的轴线并与电流形成右旋的方向（即磁场的方向）为x轴正向，如习题8-10图解（a）所示。在螺线管上任取一段微元dx，则通过它的电流为dI?nIdx，把它看成一个圆线圈，它在轴线上O点产生的磁感应强度dB为
R2nIdx dB?22322(R?x)?0由叠加原理可得，整个螺线管在O点产生的磁感应强度B的大小为
B??dB?L?0R2nI2?x2x1dx
(R2?x2)32习题8-10图解（a） ??0nI2[x2x1?] 22122212(R?x2)(R?x1)由图可知cos?1?x1x2，代入上式并整理可得 cos??222122212(R?x1)(R?x2)B??0nI2(cos?2?cos?1)
式中?1和?2分别为x轴正向与从O点引向螺线管两端的矢径r之间的夹角。 讨论：
（1）若螺线管的长度远远大于其直径，即螺线管可视为无限长时，?2?0，?1??，则有
B??0nI
上式说明，无限长密绕长直螺线管内部轴线上各点磁感应强度为常矢量。理论和实验均证明：在整个无限长螺线管内部空间里，上述结论也适用。即无限长螺线管内部空间里的磁场为均匀磁场，其磁感应强度B的大小为?0nI，方向与轴线平行；
（2）若点O位于半无限长载流螺线管一端，即?1?哪一种情况均有
??，?2＝0或?1?，?2＝?时，无论22B?1?0nI------(8-19) 2可见半无限长螺线管端面中心轴线上磁感应强度的大小为管内的一半；
综上所述，密绕长直螺线管轴线上各处磁感应强度分布见习题8-10图解（b）所示，从图中也可看出，长直螺线管内中部的磁场可以看成是均匀的。
习题8-10图解（b） 63
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8-11两根长直导线互相平行地放置，导线内电流大小相等，均为I＝10A，方向相同，如图8-49题图(左)所示。求图中M、N两点的磁感强度B的大小和方向。已知图中的r0?0.020m。
图8-49 习题8-11图解 分析：因无限长直流载导线在距离a处的磁感应强度为B?理进行求解较为方便。
解：由题可知，两长直导线在M处产生的磁感强度大小均为B1?B2??0I，因此，本题由磁场的叠加原2?a?0I，但方向相反；在2?r0N处产生的磁感强度均为：B1?B2?方向沿水平向左。即：
?0I方向如图8-49(右)所示，由图可知，B1和B2合成的
22?r0?0I?0I??0 2?r02?r0?B2cosM处的磁感强度为：BM?B1?B2?N处的磁感强度为： BN?B1cos方向沿水平向左。
?4?4?(B1?B2)cos?4??0I?1.0?10?4T 2?r08-12如图8-50题所示，有两根导线沿半径方向接触铁环的a、b两点，并与很远处的电源相接。求环心O处的磁感强度。
分析：因带电流为I圆弧在其圆心处产生的磁感应强度为
B??0I??，方向可由右手法则确定，因此，本题由磁场的2R2?解：设图8-50中圆弧的半径为R。由题可知，ef距O点
叠加原理求解较为方便。
很远，故Be f?0；O点在eb和fa的延长线上故Beb?Bfa?0；又因载流圆弧在圆心处产生的磁感强度为：
图8-50 习题8-12图解 B??0I??Il?Il??l弧和adb??l弧在O点产生的磁??0??02，其中l为圆弧长，故acb122R2?2R2?R4?R?0I1l1?0I2l2B?， 2224?R4?R?构成并联电路，所以有： ?和圆弧adb又由于导线的电阻与导线的长度成正比，且圆弧acbB1?感强度分别为：
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I1l1?I2l2
根据叠加原理可得o点的磁感强度为：
B?Bef?Beb?Bfa?B1?B2?为多少?
?0I1l1?0I2l2??0 4?R24?R28-13 如图8-51所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I，它们在点O处的磁感应强度各
图8-51 习题8-13图解 分析：因载流圆弧在圆心处产生的磁感强度为：B?流直导线在距离a处的磁感应强度为B?解：图8-51(a)中，将流导线看作
?0I??Il?Il??0??02，无限长载2R2?2R2?R4?R?0I，故可由叠加原理求解。 2?a1圆电流和两段半无限长载流直导线，则： 4?I?IB0?B圆弧?B长直导线?B长直导线?0+0+0=0
8R8R磁感应强度B0的方向垂直纸面向外。
图8-51(b)中，将载流导线看作圆电流和长直电流，则：
B0?磁感应强度B0的方向垂直纸面向里。 图8-51(c)中图中，将载流导线看作
?0I2R??0I 2?R1圆电流和两段半无限长直电流，则： 2图8-52 习题8-14图解
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B0??0I?0I?0I?0I?0I???? 4?R4?R4R2?R4R磁感应强度B0的方向垂直纸面向外。
8-14如图8-52（a）所示，一宽为b的薄金属板，其电流为I。试求在薄板的平面上，距板的一边为r的点P的磁感应强度。
分析：建立图8-52 (b)所示的坐标系，将金属板分成无限多份宽度为dx的载流长直导线。现在距O点x处取一载流长直导线，其电流为dI?再由叠加原理求解。
解：载流薄板在p点处产生的磁感应强度的大小为：
?dIIdx，在p点处产生的磁感应强度为：dB?0，b2?xB??讨论：当b?r时，则
r?brdB??r?br?0I?Ir?bdx?0ln 2?bx2?br磁感应强度的方向垂直纸面向里。
B??0Ir?b?0I?Ib1bbln?ln(1?)?0[?()2???] 2?br2?br2?br2r?I?0 2?r表示，宽度为b的载流金属板在p点处产生的磁感应强度，可视为载流直导线在可p点处产生的磁感应强度。B的分布曲线如图8-52(c)所示。
8-15 如图8-53所示，在磁感强度为B的均匀磁场中，有一半径为R的半球面，B与半球面轴线的夹角为?。求通过该半球面的磁通量。
分析：构建一个闭合曲面，再由高斯定理求解。
解：设有一半径为R的圆面与半径为R的半球面构成封闭曲面，则由磁场的高斯定理可知：
??所以：
封闭曲面B?ds???半球面B?ds+??圆面B?ds=0
图8-53 习题8-15图解 ??半球面B?ds=??圆面B?ds=?R2Bcosa
8-16电流I均匀地流过半径为R的圆形长直导线，试计算单位长度导线通过图8-54中所示剖面的磁通量。
分析：将导线视为长直圆柱体，由于电流沿轴向均匀流过导体，故其磁场呈轴对称分布，即在与导线同轴的圆柱面上各点，B大小相等，方向与电流成右手螺线关系。
解：围绕轴线取同心圆环路L，使其绕向与电流成右手螺旋关系，根据安培环路定理可求得导线内部距轴线r处的磁感强度。
图8-54 习题8-16图解 ?0Ir2I2??LB?dl?B?2?r??0?I??0?R2?r?R2
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B??0Ir； 22?R如图8-54所示，在距轴线r处的剖面上取一宽度dr很窄的面元ds?ldr，该面元上各点的B相同，由磁通量的定义可知穿过该面元的磁通量为：
d??Bds?故：
?0Irldr 2?R2?0Ir?0Illd?
02?R24???0I?单位长度的磁通量为：?0? l4????d???R8-17 如图8-55（a）所示，两平行长直导线相距40cm，每条通有电流I?200A，求：
(1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点A（图中未标）处的磁感应强度；
(2)通过图中斜线所示矩形面积内的磁通量。已知
r1?r3?10cm，r2?20cm，l?25cm。
分析：用已知的结论：长直载流导线在空间某点产生的磁感应强度为B?解。
(1)解：由B??0I、磁通的叠加原理和磁场的叠加原理可方便求2?a图8-55 (a) 习题8-17图解 ?0I和磁场的叠加原理可知，两导线所在平面内与该两导线等距的一点A处的2?a磁感应强度的大小为：
?0I?0I?0I4??10?7?200B?B1?B2?????4.0?10?4T
2?a2?a?a??0.2磁感应强度的方向垂直纸面向里。
(2)建立如图8-55 (b)所示的坐标，穿过线圈的总磁通?总等于一条电流产生磁通?的两倍，即
?总?2?。
方法一：在中距原点O为x处取一很窄的面积元dS?ldx，穿
d??B1dS?过该面积的磁通量为：
??2?为
r2?r1?0Ildx。穿过线圈的总磁通为： 2?xr1?0Ildx?2.2?10?5Wb 2?x方法二：设两电流相距为d，则由两电流产生的磁感应强度大小
B?故：
?0I?0I? 2?x2?(d?x)图8-55 (b) 67