第三篇 电磁学
第9章 电磁场
29-6 如图9-40所示，一截面积S?6cm的密绕线圈，共有50匝，置于B?0.25T的均匀磁
场中，B的方向与线圈的轴线平行。如使磁场B在0.25s内线性地降为零，求线圈中产生的感应电动势?i。
分析：因B随t改变，故穿过密绕线圈的?也随t改变，根据法拉第电磁感应定律要产生感应运动势。
解：由题可知B随时间变化的关系是：B??t?0.25，则磁通为：
??BS?6.0?10(?t?0.25)
由法拉第电磁感应定律可得：
?4图9－40 习题9－6图解 ?i??N自感电动势的方向为b?a。
d??0.03V dt?59-7 一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为??8.0?10sin100?t（SI制），求在t?1.0?10s时，线圈中的感应电动势。
分析：线圈中有N匝相同的回路，其感应电动势等于各匝回路的感应电动势之和。 解：由??N?0和法拉第电磁感应定律?i???2d?得： dt?i??N当t?1.0?10s时，?i?2.51V
?2d?0?2.51cos100?t(V) dt9-8 如图9-41所示，用一根硬导线弯成一半径为r的半圆,使这根半圆形导线在磁感应强度为B的匀强磁场中以频率f旋转，整个电路的电阻为R，求感应电流的表达式和最大值。
分析：由题可知，闭合回路的面积为S?12?r，穿过2它的磁通量?(t)?BScos?在不断变化，因此可先由法拉第电磁感应定律?i??Nd?求出感应电动势，再由欧姆定律dt图9-41 习题9-8图解 I??iR求出感应电流，据此再讨论最大值。
解：设半圆形导线与磁场垂直的位置即图示的位置为导线在初始时刻，顺时针方向为回路正向，此时半圆形导线平面的法线与B之间的夹角??0，任意时刻穿过回路的磁通量为：
1?(t)?BScos???r2Bcos2?ft
2根据法拉第电磁感应定律，有：
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第三篇 电磁学
?i??由欧姆定律可得回路中的电流为：
d?(t)??2r2fBsin2?ft dtI(t)?故感应电流的最大值为
?iR??2r2fBRsin2?ft
Im??2r2fBR
9-9 有两根相距为d的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以
dIdt的变化率增长。若有一边长为d的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图9-42所(a)示，求线圈
（a） 图9-42 习题9-9图解 中的感应电动势。
分析：由于回路处于非均匀磁场中，因此，先由??（b） ?SB?dS（B为两无限长直电流单独存在
时产生的磁感应强度之和）求出?，再由法拉第电磁感应定律求出感应电动势。
解：建立如图9-42(b)所示的坐标系，距O点x 处，在矩形线圈中取一宽度(dx)很窄的面积元
ds?ddx，在该面积元内可近似认为B的大小和方向不变。由长直导线在空间一点产生的磁感强度
B??0I可得穿过该面积元的磁通为： 2?dd??B?ds=(B1+B2)?ds=穿过线圈的磁通量为：
μ0I?Iddx?0ddx
2?(x?d)2?x???d???2dd2d?Iμ0I?Id30ddx??ddx?0ln
d2?x2?(x?d)2?4再由法拉第电磁感应定律可得：
?i??－5?d4dId??(0ln) dt2?3dt9-10 把磁棒的一极用1.5s的时间由线圈的顶部一直插到底部,在这段时间内穿过每一匝线圈的磁通量改变了5.0?10Wb，线圈的匝数为60匝，求线圈中感应电动势的大小。若闭合回路的总电阻为800?，再求感应电流的大小。
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第三篇 电磁学
分析：先得?i，再由全电路的欧姆定律求感应电流的大小。 解：由法拉第电磁感应定律有：
??60?5?10?5?i??????2.0?10?3V
?t1.5又由I??iR有：
?2?10?3I???2.5?10?6A
8009-11 如图9-43所示，金属杆AOC以恒定速度?在均匀磁场B中垂直于磁场方向运动，已知AO?OC?L，求杆中的动生电动势。
分析：金属杆AOC沿图9-45所示方向运动时，只有OC部分
切割磁力线运动，产生动生电动势。
解：由分析可知：
?AOC??OC??BLsin?
9－12 如图9-44(a)所示，把一半径为R的半圆形导线OP置于磁感应强度为B的均匀磁场中。当导线以速率?水平向右平动时，求导线中感应电动势?的大小，哪一端电势较高?
图9-43 习题9-11图解 图9-44 习题9－12图解 d?和???(??B)?dl。因此，本题可用其中任何一
ldt种方法，电势高低通常由(??B)的方向来判断，即矢量(??B)的方向为导线中电势升高的方向。
分析：求解动生电动的方法有：???N解：方法一：假设半圆形导线OP在宽为2R的静止匚形导上滑动，如图9-44(b)所示。则两者之间形成一个闭合回路，以顺时针方向为回路正向，任一时刻端点O或端点P距匚形导轨左侧距离为x，此时穿过该回路的磁通量为：
1??(2Rx??R2)B
2由法拉第电磁感应定律可得：
?i??
d?dx??2RB??2RB? dtdt80
第三篇 电磁学
式中的负号表示电动势的方向为逆时针，对OP段来说P点的电势高。
方法二： 连接OP使导线构成一个闭合回路，由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路的磁通量??BS＝常数。因此，由法拉第电磁感应定律可知：
?i??而?i??op???p0，即：
d??0 dt?op?B ????p0?2R方法三：建立如图9-44(c)所示的坐标系，在导体上任意处取导体元dl，则:
d?i?(??B)?dl??Bsin900cos?dl??Bcos?Rd?
????d???BR??2??2cos?d??2R?B
由矢量(??B)的指向可知，端点P的电势较高。
9-13 如图9-45所示为一铜圆盘发电机的示意图，圆盘绕过盘心且垂直盘面的金属轴OO轴转动，轴的半径为R2?2.0?10?3m。圆盘放在磁感应强度B?10T的均匀磁场中，B的方向与盘面垂直。有两个集电刷分别与圆盘的边缘和转轴相连。已知圆盘的半径为R1?1.2m，厚度为d?1.0?10m，转动的角速度为
?3/??5?2?rad?s?1。试计算圆盘轴与边缘之间的电势差，并指
出何处的电势高。
分析：由题可知圆盘的厚度d?R1，即圆盘可视为厚度不计的薄圆盘，因此，可将铜盘分成无限多个线元，求出任意线元产生的动生电动势，然后积分即可。也可将铜盘视为若干个铜条，这些铜条的一端连在一起，另一端连在一起，类视于若干个电动势的并联，其大小等于一根铜条切割磁力线运动时产生的动生电动势。
解：在圆盘上沿径矢r取一线元dr。其速度大小为???r，方向在盘面上且与dr垂直。该线元的产生的动生电动势为：
图9-45 习题9-13图解 d?i?(??B)?dl
由于??B，且(??B)的方向与dr的方向相同，故有：
d?i??Bdr??rBdr
沿圆盘的径向积分，可得圆盘边缘与转轴之间的动生电动势为：
?i???rBdr??B(R12?R22)
R2R112将已知数据代入可得：
?i??5?2??10?[(1.2)2?(2.0?10?3)2]?226V
在示接外电路的情况下，?i为集电刷M,O`间的电势差。圆盘边缘的电势高于圆盘中心转轴的电势。
9-14如图9-46（a）所示，长为L的铜棒，以距端点A为r处为支点，以角速率?绕通过支点
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12第三篇 电磁学
且垂直于铜棒的轴转动。设磁感应强度为B的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差。
图9－46 习题9－14图解 分析：棒两端的电势差与棒上的动生电动势是两个不同的概念。其关系如同电源的路端电压与电动势间的关系，只有在开路情况下，两者的大小相等，方向相反。
解：
方法一：在棒上距O点为l处取一导体元，如图9-48 (a)所示，则：
L-r?AB??(??B)?dl??AB-r1-ωBdl???BL(L?2r)
2因此，棒两端的电势差为：VAB???AB?当L?2r时，端点A处的电势高。
1?BL(L?2r) 2方法二： 将AB棒上的电动势看作是OA棒和OB棒上电动势的代数和，如图9-48 (b)所示，其中，
?OA?11B?r2，?OB?B?(L?r)2，则 22?AB??OA??OB??B?L(L?2r)
12图9-47 习题9-15图解 9－15 如图9-47（a）所示，一长为l，质量为m的导体棒CD，其电阻为R，沿两条平行的导电轨道无摩擦地滑下，轨道的电阻忽略不计，轨道与导体构成一闭合回路，轨道所在的平面与水平面成?角，整个装置放在均匀磁场中，磁感应强度B的方向为竖直向上。求：
(1)导体在下滑时，速度随时间的变化规律； (2)导体棒CD的最大速度?m。
分析：棒在下滑过程中，因切割磁力线产生动生电动势，在回路中形成感应电流，故要受到安
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