第三篇 电磁学
r1?r2r1?r2?总??上均匀分布。求：
r1BdS??2r1[?0I?0I?]ldx?2.2?10?5(Wb) 2?x2?(d?x)8-18已知横截面积为10mm裸铜线允许通过50A电流而不会使导线过热，电流在导线横截面(1)导线内、外磁感强度的分布； (2)导线表面的磁感强度。
分析：将导线视为长直圆柱体，由于电流沿轴向均匀流过导体，故其磁场呈轴对称分布，即在与导线同轴的圆柱面上各点，B大小相等，方向与电流成右手螺线关系。
解：(1)围绕轴线取同心圆环路L，使其绕向与电流成右手螺旋关系，根据安培环路定理
??B?dl???I可知：
0??B?dl?B?2?r???I
L0IIr22?r?2，所以： 当r?R时，?I?2?RR?IrB?02；
2?R当r?R时，
?I?I，所以：
B??0I 2?r，
(2)在导线表面，由题可知：I?50IR?S??1.78?10?3m，则由(1)问可得：
B??0I?5.6?10?3T 2?R习题8-18图解 磁感强度的分布曲线如习题8-18图解所示。
图8-56 习题8-19图解（a） 8-19 有一同轴电缆，其尺寸如图8-56（a）所示。两导体中的电流均为I，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感强度：
（1）r?R1； （2）R1?r?R2； （3）R2?r?R3；
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第三篇 电磁学
（4）r?R3，画出B?r图线。
分析：由于同轴导体内的电流均匀分布，其磁场呈轴对称分布，因此可由安培环路定理定理求解。
解：取半径为r的同心圆为积分路径，由(1)当r?R1时有：B1?2?r??0??B?dl???I有：
l0?0IrI2 ?rB?1?R122?R12?0I 2?r(2) 当R1?r?R2时有：B2?2?r??0I B2??0IR32?r?(r2?R22)(3) 当R2?r?R3时有：B3? 2?r??0[I?I] B3?2?(R32?R22)2?rR32?R2(4) 当r?R3时有：B4?2?r??0(I?I)?0 B4?0 磁感强度B?r图线如图8-56 (b)所示。
8-20如图8-57所示，N匝线圈均匀密绕在截面为长方形的中空骨架上。求通入电流I后，环内外磁场的分布。
分析：由于N匝线圈均匀密绕在截面为长方形的中空骨架上，由右手螺旋法则可知：螺线管内磁感强度的方向与螺线管中心轴线构成同心圆，因此，由安培环路定理求解较方便。
解：取半径为r的圆周为积分路径，则由知：
当r?R1时，B1?2?r?0 B1?0 当R2?r?R1时，B2?2?r??0NI B2?当r?R2时，B3?2?r?0 B3?0
8-21 测定离子质量的质谱仪如图8-58所示。离子源S产生质量为m，电荷为q的离子，离子的初速度很小，可看作是静止的，经电势差V加速后离子进入磁感强度为B的均匀磁场，并沿一半圆形轨道到达离入口处距离为x的感光底片上。试证明该离子的质量为
??B?dl???I可
0图8-57 习题8-20图解 ?0NI 2?rB2q2m?x
8V分析：离子在电场中由静止加速后进入均匀磁场中作半径为r的圆周运动，所需向心力为其所受的洛伦兹力。
证明：根据动能定理有：
1m?2?qU (1) 2离子以速率?进入磁场后作圆周运动所需的向心力为其所受的洛伦兹力，作圆周运动的半径为r?图8-58 习题8-21图解 x，即： 2q?B?m
?2x/2 (2)
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第三篇 电磁学
由(1)、(2)可得
B2q2m?x
8U8-22 在一真空室中的电子通过一个电势差V0被加速，然后进入两个带电平行金属板之间的空
间，两金属板之间的电势差为300V，如图8-59所示。求：
（1）如果电子进入两板之间的空间时的速率为
6.0?106m?s?1，则该电子是通过多大的电势差V0被加
速的；
（2）如果两板间还有一匀强磁场，其方向与纸面垂直，则磁场B必须多大，才能使电子无偏转地在两板间运动。
分析：电子在电场中由静止加速后进入电磁场中，
要使其无偏转即作直线运动，则忽略重力时，电子所受的电场力应等于其所受的洛伦兹力。即。 F电场力?f洛伦兹力解：(1)根据动能定理有：
图8-59 习题8-22图解 1m?02?qV0，即 2V0?m2?0?102V 2q(2)电子在两板间运动时，同时受到洛伦兹力和电场力的作用，要使电子不偏转，则洛伦兹力和电场力应相等，即q?B?qE，结合V?dE有：
B?E??V?5.0?10?3T ?d?48-23 已知地面上空某处地磁场的磁感强度B?0.4?10T，方向向北。若宇宙射线中有一速率??5.0?10m?s的质子，垂直地通过该处。求：
（1）洛伦兹力的方向；
（2）洛伦兹力的大小，并与该质子受到的万有引力相比较。 分析： 解：
(1)洛伦兹力的方向为??B的方向； (2)???B，故质子所受的洛伦兹力为：
7?1F?q?B?3.2?10?16N
质子在地球表面所受的万有引力为：
FG?mpg?1.64?10?26
F?1.95?1010 FG由此可见，质子所受的洛伦兹力远大于重力。 8-24 如图8-60所示。设有一质量为me的电子
图8-60 习题8-24图解 射入磁感强度为B的均匀磁场中，当它位于点M时，具有与磁场方向成?角的速度?，它沿螺旋
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第三篇 电磁学
线运动一周到达点N。试证M、N两点间的距离为
MN?2?me?cos?
eB分析：将入射电子的速度沿磁场方向和垂直磁场方向分解为?//和??，电子在垂直磁场的平面内在洛伦兹力的作用下作匀速圆周运动，在沿磁场方向，电子不受磁场力作用，作匀速运动。电子在磁场内同时参与上述两种运动，其运动轨迹是等距螺旋线。根据电子前进一个螺距所需的时间与电子作匀速圆周运动所经历的时间相等，可得证式。
证：由MN?T?//可得：入射电子在磁场方向前进一螺距MN所需的时间为：
T?MN?//?MN (1)
?cosa2?me (2) eB在垂直磁场方向的平面内，电子作匀速圆周运动的周期为：
T?2?R???根据电子前进一个螺距所需的时间与电子作匀速圆周运动所经历的时间相等可得：
MN?2?me?cosa
eB8-25一通有电流为I的导线，弯成如图8-61（a）所示的形状，放在磁感强度为B的均匀磁场中，B的方向垂直纸面向里．问此导线受到的安培力为多少?
图8-61 习题8-25图解 分析：将导线分解成两段直线和一段半圆弧三部分。由于两段直导线所受的安培力大小相等，但方向相反，由安培定律可知：F两段导线?0，因此，此导线所受的安培力为半圆弧部分所受的安培力。
解： 如图8-61 (b)所示，在半圆弧上与x轴成?角处任取一圆弧dl?Rd?，该圆弧所受的力为：
dF1?Idl?B=IRBdθ，方向如图所示。由对称性可知，整个半圆弧在x轴上所受的合力为零。
故有：
F1??dF1y??BIRsin?d??2BIR
0?由叠加原理可知：所求导线的安培力为：
F?F两段导线?F圆弧?2BIRj
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第三篇 电磁学
8-26 如图8-62（a）所示，一根长直导线载有电流I1?30A，矩形回路载有电流I2?20A，试计算作用在回路上的合力。已知a?1.0cm，b?8.0cm，l?0.12m。
图8-62 习题8-26图解 分析：由题可知，矩形上、下两段导线所受的安培力大小相等，方向相反，两力的矢量和为零，而矩形的左右两段导线由于载流导线在该处产生的磁感应强度不相等，且方向相反，因此线框所受的力为这两个力的合力。
解：设上、下两段导线所受的力分别为F1和F2，左右两段导线所受的力分别为F3和F4，如图8-62（b）所示。由安培定律和叠加原理可知，F1?F2?0；整个1和F2大小相等，方向相反，即F矩形回路所受的力为F?F3?F4。即
F?F3?F4?合力的方向向左。
?0I1I2l?IIl?012?1.28?10?3N 2?d2?(d?b)?48-27 一个正方形线圈，每边长度为0.6m，载有0.1A的稳恒电流，放在一个强度为10T的匀强磁场中。求
（1）线圈平面平行于磁场时，求线圈所受到的力矩； （2）线圈平面垂直于磁场时，求线圈所受到的力矩； （3）当线圈的法线与磁场方向之间的夹角?从0变到?时，画出力矩随角度变化的曲线。
解：由均匀磁场对载流线圈的磁力矩公式
M?BISsin?有：
(1)线圈平面平行于磁场时，即???2，
M?BIS?3.6?10?6N?m；
(2) 线圈平面垂直于磁场时，??0，M?0； (3) 因M?BISsin??3.6?10sin?，力矩随角度变化的曲线如习题8-27图解所示。
8-28 如图8-63(a)所示，一根长直同轴电缆，内、外导体之间充满磁介质，磁介质的相对磁导率为?r(?r＜1)，导体的磁化可以忽略不计。沿轴向有稳桓电流 通过电缆，内、外导体上电流的方
?6习题8-27图解
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