量：原料增加1个单位（1桶牛奶）时利润增长48（元），劳动时间增加1个单位（1小时）时利润增长2（元），而增加非紧约束车间甲的能力显然不会使利润增长。这里，“效益”的增量可以看作“资源”的潜在价值，经济学上称为影子价格，即1桶牛奶的影子价格为48元，1小时劳动的影子价格为2元，车间甲的影子价格为零。读者可以用直接求解的办法验证上面的结论，即将输入文件中原料约束milk）右端的50改为51，看看得到的最优值（利润）是否恰好增长48（元）。用影子价格的概念很容易回答附加问题1）：用35元可以买到1桶牛奶，低于1桶牛奶的影子价格48，当然应该作这项投资。回答附加问题2）：聘用临时工人以增加劳动时间，付给的工资低于劳动时间的影子价格才可以增加利润，所以工资最多是每小时2元。
目标函数的系数发生变化时（假定约束条件不变），最优解和最优值会改变吗？这个问题不能简单地回答。上面输出给出了最优基不变条件下目标函数系数的允许变化范围：x1的系数为（72-8，72+24）=（64，96）；x2的系数为（64-16，64+8）=（48，72）。注意：x1系数的允许范围需要x2系数64不变，反之亦然。由于目标函数的费用系数变化并不影响约束条件，因此此时最优基不变可以保证最优解也不变，但最优值变化。用这个结果很容易回答附加问题3）：若每公斤A1的获利增加到30元，则x1系数变为30×3=90，在允许范围内，所以不应改变生产计划，但最优值变为90×20+64×30=3720。
下面对“资源”的影子价格作进一步的分析。影子价格的作用（即在最优解下“资源”增加1个单位时“效益”的增量）是有限制的。每增加1桶牛奶利润增长48元（影子价格），但是，上9
面输出的CURRENT RHS 的ALLOWABLE INCREASE 和 ALLOWABLE DECREASE 给出了影子价格有意义条件下约束右端的限制范围： milk）原料最多增加10（桶牛奶），time）劳动时间最多增加53（小时）。现在可以回答附加问题1）的第2问：虽然应该批准用35元买1桶牛奶的投资，但每天最多购买10桶牛奶。顺便地说，可以用低于每小时2元的工资聘用临时工人以增加劳动时间，但最多增加53.3333小时。 需要注意的是：灵敏性分析给出的只是最
优基保持不变的充分条件，而不一定是必要条件。比如对于上面的问题，“原料最多增加10
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（桶牛奶）”的含义只能是“原料增加10（桶牛奶）”时最优基保持不变，所以影子价格有意义，即利润的增加大于牛奶的投资。反过来，原料增加超过10（桶牛奶），影子价格是否一定没有意义？最优基是否一定改变？一般来说，这是不能从灵敏性分析报告中直接得到的。此时，应该重新用新数据求解规划模型，才能做出判断。所以，从正常理解的角度来看，我们上面回答“原料最多增加10（桶牛奶）”并不是完全科学的。
5． 模型通常形式．．．（Generate．．．）
从LINGO菜单中选用“Generate．．．”命令或直接按Ctrl+G组合键可以创建当前模型的代数形式、LINGO模型或MPS格式文本。
6． 选项．．．（Options．．．）
从LINGO菜单中选用“Options．．．”命令、单击“Options．．．”按钮或直接按Ctrl+I组合键可以改变一些影响LINGO模型求解时的参数。该命令将打开一个含有7个选项卡的窗口，你可以通过它修改LINGO系统的各种参数和选项。如上图。
修改完以后，你如果单击“Apply（应用）”按钮，则新的设置马上生效；如果单击“OK（确定）”按钮，则新的设置马上生效，并且同时关闭该窗口。如果单击“Save（保存）”按钮，则将当前设置变为默认设置，下次启动LINGO时这些设置仍然有效。单击“Default（缺省值）”按钮，则恢复LINGO系统定义的原始默认设置（缺省设置）。 （1）Interface（界面）选项卡 选项组 选项 Errors 含义 In 如果选择该选项，求解程序遇到错误时将打开一个对话框Dialogs(错误对话显示错误，你关闭该对话框后程序才会继续执行；否则，框) Splash Screen （弹出屏幕） General Status Bar 错误信息将在报告窗口显示，程序仍会继续执行 如果选择该选项，则LINGO每次启动时会在屏幕上弹出一个对话框，显示LINGO的版本和版权信息；否则不弹出 如果选择该选项，则LINGO系统在主窗口最下面一行显示状态栏；否则不显示 如果选择该选项，则LINGO系统每次运行LINGO|Solve命令时会在屏幕上弹出状态窗口；否则不弹出 如果选择该选项，则LINGO系统对求解结果报告等将以简洁形式输出；否则以详细形式输出 如果选择该选项，则显示工具栏；否则不显示 （一般选（状态栏） 项） Status Window （状态窗口） Terse Output （简洁输出） Toolbar （工具栏） 页 第22
Solution Cutoff （解的截断） File Format （文件格式） 小于等于这个值的解将报告为“0”（缺省值是10-9） lg4 （extended） 模型文件的缺省保存格式是lg4格式（这是一种二进制文（lg4，扩展格式） 件，只有LINGO能读出） lng （text only） （lng，纯文本格模型文件的缺省保存格式是lng格式（纯文本） 式） 语法配色的行数限制（缺省为1000）。LINGO模型窗口中Line limit 将LINGO关键此显示为兰色，注释为绿色，其他为黑色，超过该行数限制后则不再区分颜色。特别地，设置行数限制为0时，整个文件不再区分颜色。 设置语法配色的延迟时间（秒，缺省为0，从最后一次击键算起）。 如果选择该选项，则模型中当前光标所在处的括号及其相匹配的括号将以红色显示；否则不使用该功能 Syntax Coloring （行数限制） （语法配Delay （延迟） 色） Paren Match （括号匹配） Send Reports to Command Window 如果选择该选项，则输出信息会发送到命令窗口；否则不（报告发送到命令使用该功能 窗口） Echo Input （输入信息反馈） 如果选择该选项，则用File|Take Command命令执行命令脚本文件时，处理信息会发送到命令窗口；否则不使用该功能 命令窗口能显示的行数的最大值为Maximum（缺省为800）；如果要显示的内容超过这个值，每次从命令窗口滚动删除的最小行数为Minimum（缺省为400） 命令窗口每次显示的行数的最大值为Length（缺省为没有Page Size Limit限制），显示这么多行后会暂停，等待用户响应；每行最（页面大小限制） 大字符数为Width（缺省为74，可以设定为64-200之间），多余的字符将被截断 Command Window （命令窗口） Line Count Limits （行数限制） 页 第23
（2）General Solver（通用求解器）选项卡
选项组 选项 含义 Generator Memory Limit （MB）缺省值为32M，矩阵生成器使用的内存超过该限制，LINGO将报矩阵生成器的内存限制（兆） Runtime Limits 运行限制 Iterations 迭代次数 Time (sec) 运行时间（秒） 告\求解一个模型时，允许的最大迭代次数（缺省值为无限） 求解一个模型时，允许的最大运行时间（缺省值为无限） 求解时控制对偶计算的级别，有三种可能的设置： Dual Computations （对偶计算） ·None: 不计算任何对偶信息； ·Prices：计算对偶价格（缺省设置）； ·Prices and Ranges：计算对偶价格并分析敏感性。 控制重新生成模型的频率，有三种可能的设置： ·Only when text changes：只有当模型的文本修改后才再生Model Regeneration （模型的重新生成） 成模型； ·When text changes or with external references：当模型的文本修改或模型含有外部引用时（缺省设置）； ·Always：每当有需要时。 决定求解模型时线性化的程度，有四种可能的设置： Solver Decides：若变量数小于等于12个，则尽可能全部线性化；否则不做任何线性化（缺省设置） Degree ·None：不做任何线性化 （线性化程度） ·Low：对函数@ABS(), @MAX(), @MIN(), @SMAX(), @SMIN()，Linearization（线性化） 以及二进制变量与连续变量的乘积项做线性化 ·High：同上，此外对逻辑运算符#LE#, #EQ#, #GE#, #NE#做线性化 Big M（线性化的大M系数） Delta（线性化的误差限） 设置线性化的大M系数（缺省值为106）。 设置线性化的误差限（缺省值为10-6）。 页 第24
Allow Unrestricted Use of Primitive Set Member Names （允许无限制地使用基本集合的成员名） Check for Duplicate Names in Data and Model(检查数据和模型中的名称是否重复使用) Use R/C format names for MPS 选择该选项可以保持与LINGO4.0以前的版本兼容：即允许使用基本集合的成员名称直接作为该成员在该集合的索引值（LINGO4.0以后的版本要求使用@INDEX函数）。 选择该选项,LINGO将检查数据和模型中的名称是否重复使用，如基本集合的成员名是否与决策变量名重复。 I/O （在MPS文件格式的输入输在MPS文件格式的输入输出中，将变量和行名转换为R/C格式 出中使用R/C格式的名称） （3）Linear Solver（线性求解器）选项卡 选项组 选项 含义 求解时的算法，有四种可能的设置： ·Solver Decides：LINGO自动选择算法 Method 求解方法 （缺省设置） ·Primal Simplex：原始单纯形法 ·Dual Simplex：对偶单纯形法 ·Barrier: 障碍法 (即内点法) Initial Linear Feasibility Tol 初始线性可行性误差限 Final Linear Feasibility Tol. 最后线性可行性误差限 控制线性模型中约束满足的初始误差限（缺省值为3*10-6） 控制线性模型中约束满足的最后误差限（缺省值为10-7） 控制是否检查模型中的无关变量，从而降低模型的规模： Model Reduction 模型降维 ·Off：不检查 ·On：检查 ·Solver Decides：LINGO自动决定（缺省设置） 页 第25