解：若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17 cm.
故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.
第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构
1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组
合体的结构特征
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列几何体中是旋转体的是( )
①圆柱 ②六棱锥 ③正方体 ④球体 ⑤四面体 A．①和⑤ B．① C．③和④
D．①和④
解析：圆柱、球体是旋转体，其余均为多面体． 答案：D
2．如图所示的简单组合体的结构特征是( )
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A．由两个四棱锥组合成的
B．由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的 C．由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的 D．由一个四棱锥和一个四棱台组合成的 解析：这个8面体是由两个四棱锥组合而成． 答案：A
3．下图是由哪个平面图形旋转得到的( )
解析：图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．
答案：A
4．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为( )
解析：截面图形应为图C所示的圆环面． 答案：C
5．用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )
A．2
B．2π
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24C.或 ππππD.或 24
解析：如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，
4
则2πr＝8，所以r＝；
π
同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4， 2
所以r＝.所以选C.
π答案：C 二、填空题
6．等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________．
解析：结合旋转体及圆锥的特征知，所得几何体为圆锥． 答案：圆锥 7．给出下列说法：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是____________(填序号)．
解析：由旋转体的形成与几何特征可知①③错误，②④正确． 答案：②④
8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是
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__________．
答案：圆柱
三、解答题
9．如图所示的物体是运动器材——空竹，你能描述它的几何特征吗？
解：此几何体是由两个大圆柱、两个小圆柱和两个小圆台组合而成的．
10．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长．
解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm.
设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得l－122
＝，所以l＝20 cm. l5
故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
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B级 能力提升
1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )
A．一个球体
B．一个球体中间挖出一个圆柱 C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
解析：外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．
所有形成的几何为一个球体挖出一个圆柱． 答案：B
2．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为__________cm2.
解析：如图所示，过球心O作轴截面，设截面圆的圆心为O1，其半径为r.
由球的性质，OO1⊥CD.
在Rt△OO1C中，R＝OC＝5，OO1＝4，则O1C＝3， 所以截面圆的面积S＝π·r2＝π·O1C2＝9π. 答案：9π
3．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
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