最后结合f（x）的单调性解出答案． 解答： 解：由奇函数f（x）可知，即x与f（x）异号， 而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0， 又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数， 当x＞0时，f（x）＜0=f（1）； 当x＜0时，f（x）＞0=f（﹣1）， 所以0＜x＜1或﹣1＜x＜0． 故选D． 点评： 本题综合考查奇函数定义与它的单调性． 4．（2010?山东）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（ ） 1 3 A．﹣3 B． ﹣1 C． D． 考点： 奇函数． 分析： 首先由奇函数性质f（0）=0求出f（x）的解析式，然后利用定义f（﹣x）=﹣f（x）求f（﹣1）的值． 解答： 解：因为f（x）为定义在R上的奇函数， x
所以f（0）=2+2×0+b=0， 解得b=﹣1， x所以当x≥0时，f（x）=2+2x﹣1， 又因为f（x）为定义在R上的奇函数， 1所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（2+2×1﹣1）=﹣3， 故选A． 点评： 本题考查奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）与基本性质f（0）=0（函数有意义时）． 5．（2010?山东）观察（x）′=2x，（x）′=4x，y=f（x），由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（ ） A．f（x） B． ﹣f（x） C． g（x） D． ﹣g（x） 考点： 奇函数；归纳推理． 分析： 首先由给出的例子归纳推理得出偶函数的导函数是奇函数， 然后由g（x）的奇偶性即可得出答案． 解答： 解：由给出的例子可以归纳推理得出： 若函数f（x）是偶函数，则它的导函数是奇函数， 因为定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x）， 即函数f（x）是偶函数， 所以它的导函数是奇函数，即有g（﹣x）=﹣g（x）， 故选D． 点评： 本题考查函数奇偶性及类比归纳推理能力． 6．（2006?山东）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），则f（6）的值为（ ） 0 1 2 A．﹣1 B． C． D． 考点： 奇函数． 分析： 利用奇函数的性质f（0）=0及条件f（x+2）=﹣f（x）即可求出f（6）． 解答： 解：因为f（x+2）=﹣f（x）， 所以f（6）=﹣f（4）=f（2）=﹣f（0）， 又f（x）是定义在R上的奇函数， 所以f（0）=0， 0243
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所以f（6）=0， 故选B． 点评： 本题考查奇函数的性质． 7．（2006?福建）已知（fx）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，（fx）=lgx．设则（ ） A．a＜b＜c ，，
B． b＜a＜c C． c＜b＜a D． c＜a＜b 考点： 奇函数． 专题： 压轴题． 分析： 首先利用奇函数的性质与函数的周期性把f（x）的自变量转化到区间（0，1）内，然后由对数函数f（x）=lgx的单调性解决问题． 解答： 解：已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx． 则=﹣lg＞0， =﹣lg＞0， =lg＜0， 又lg＞lg ∴0＜﹣lg＜﹣lg ∴c＜a＜b， 故选D． 点评： 本题主要考查奇函数性质与函数的周期性，同时考查对数函数的单调性． 8．（2006?江苏）已知a∈R，函数f（x）=sinx﹣|a|，x∈R为奇函数，则a=（ ） ±1 0 1 A．B． C． ﹣1 D． 考点： 奇函数． 分析： 利用奇函数定义中的特殊值f（0）=0易于解决． 解答： 解：因为f（x）是R上的奇函数， 所以f（0）=﹣|a|=0， 解得a=0， 故选A． 点评： 本题考查奇函数定义． 9．（2003?上海）f（x）是定义在区间[﹣c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（ ）
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A．若a＜0，则函数g（x）的图象关于原点对称 若a=﹣1，﹣2＜b＜0，则方程g（x）=0有大于2的实根 B． 若a≠0，b=2，则方程g（x）=0有两个实根 C． D．若a≥1，b＜2，则方程g（x）=0有三个实根 考点： 奇函数． 专题： 压轴题． 分析： 奇函数的图象关于原点对称；当a≠0时af（x）与f（x）有相同的奇偶性；f（x）+b的图象可由f（x）上下平移得到． 充分利用以上知识点逐项分析即可解答． 解答： 解：①若a=﹣1，b=1，则函数g（x）不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，所以选项A错误； ②当a=﹣1时，﹣f（x）仍是奇函数，2仍是它的一个零点，但单调性与f（x）相反，若再加b，﹣2＜b＜0，则图象又向下平移﹣b个单位长度，所以g（x）=﹣f（x）+b=0有大于2的实根，所以选项B正确； ③若a=，b=2，则g（x）=f（x）+2，其图象由f（x）的图象向上平移2个单位长度，那么g（x）只有1个零点，所以g（x）=0只有1个实根，所以选项C错误； ④若a=1，b=﹣3，则g（x）的图象由f（x）的图象向下平移3个单位长度，它只有1个零点，即g（x）=0只有一个实根，所以选项D错误． 故选B． 点评： 本题考查奇函数的图象特征及函数af（x）与f（x）的奇偶性关系，同时考查由f（x）到f（x）+b的图象变化． 10．（2014?南昌模拟）己知奇函数y=f（x）在（﹣∞，0）为减函数，且f（2）=0，则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集为（ ） A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B． {x|﹣3＜x＜1或x＞2} C． {x|﹣3＜x＜0或x＞3} D． {x|﹣1＜x＜1或1＜x＜3} 考点： 奇函数． 分析： 首先由奇函数的图象关于原点对称及f（x）在（﹣∞，0）为减函数且f（2）=0画出f（x）的草图， 然后由图形的直观性解决问题． 解答： 解：由题意画出f（x）的草图如下， 因为（x﹣1）f（x﹣1）＞0，所以（x﹣1）与f（x﹣1）同号， 由图象可得﹣2＜x﹣1＜0或0＜x﹣1＜2， 解得﹣1＜x＜1或1＜x＜3， 故选D． 点评： 本题考查奇函数的图象特征及数形结合的思想方法． 8
11．（2014?抚顺二模）设函数f（x），g（x）的定义域分别为F、G，且F?G．若对任意的x∈F，都有g（x）=f（x），则称g（x）为f（x）在G上的一个“延拓函数”．已知函数f（x）=2（x≤0），若g（x）为f（x）在R上一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则函数g（x）的解析式是（ ） |x| A．B． C． D． g（x）=2 g（x）=log2|x| 考点： 奇函数；指数函数的定义、解析式、定义域和值域． 专题： 应用题；压轴题；创新题型． 分析： 由题意函数f（x）=2x（x≤0），g（x）为f（x）在R上一个延拓函数，求出g（x），然后利用偶函数推出函数g（x）的解析式． 解答： 解：f（x）=2x（x≤0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数 x
则有x∈（﹣∞，0]有g（x）=f（x）=2 （﹣x）g（x）是偶函数 有x＞0 可得g（x）=g（﹣x）=2 x所以g（x）=2 （x≤0） （﹣x）g（x）=2 （x＞0） 所以 x故选C 点评： 本题考查求指数函数解析式，奇函数的性质，考查计算能力，推理能力，是基础题．创新题型． 12．（2014?东昌区二模）下列函数中，既是奇函数，又是增函数是（ ） 3 A．f（x）=x|x| B． C． f（x）D． f（x）=﹣x f（x）= = 考点： 奇函数；偶函数． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 四个选项中都给出了具体的函数解析式，其中选项A是分段函数，可由f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f（x）知函数为奇函数，在分析x＞0时函数的增减性，根据奇函数的对称性进一步得到函数在整个定义域内的增减性； 选项B举一反例即可； C、D中的两个函数，定义域均不关于原点对称，都不是奇函数． 解答： 解：由f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f（x），知函数f（x）=x|x|为奇函数，又f（x）=x|x|=当x＞0时，f（x）=x在（0，+∞）上为增函数，根据奇函数图象关于原点中心对称， 2所以当x＜0时，f（x）=﹣x在（﹣∞，0）上也为增函数，所以函数f（x）=x|x|在定义域内既是奇函数，又是增函数，故A正确． 333∵2＞1，而﹣2＜﹣1，所以函数f（x）=x在定义域内不是增函数，故B不正确． ∵确． ∵f（x）=的定义域为{x|x＞0}，不关于原点对称，所以函数f（x）=在定义域内不是奇函数，故D不关于原点对称，∴f（x）=sinx在给定的定义域内不是奇函数，故C不正2不正确． 故选A． 点评： 怕断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，若对称，由f（﹣x）=﹣f（x）知函数为定义域上的奇函数，由f（﹣X）=f（x）知函数为定义域上的偶函数；若定义域不关于原点对称，在定义域内函数是非奇非偶的．有时也可以根据函数图象的特点分析，函数图象关于原点中心对称是函数为奇函数的充要条件，
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关于y轴轴对称是函数为偶函数的充要条件． 13．（2013?文昌模拟）设奇函数f（x）的定义域为R，最小正周期T=3，若的取值范围是（ ） A． ，则a
B． a＜﹣1 C． D． 考点： 奇函数；函数的周期性． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 关键函数是一个奇函数和具有周期性，得到2对应的函数值与﹣1对应的函数的范围一样，列出关于a的不等式，解不等式即可． 解答： 解：∵奇函数f（x）的定义域为R， ∴f（﹣1）=﹣f（1）≤﹣1， ∵最小正周期T=3，若∴f（2）=f（﹣1）≤﹣1， ∴， ， ∴（a+1）（3a﹣2）≤0， ∴﹣1∴﹣1＜a≤ 故选C． 点评： 本题考查函数的性质，是一个函数性质的综合应用，解题的关键是把2对应的函数值同已知条件结合起来． 14．（2010?天津模拟）下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的函数是（ ） A．f（x）=sinx B． f（x）=﹣|x+1| C． D． 考点： 奇函数；函数单调性的判断与证明． 专题： 阅读型． 分析： 本题是选择题，可采用逐一检验的方法，只要不满足其中一条就能说明不正确． 解答： 解：f（x）=sinx是奇函数，但其在区间[﹣1，1]上单调递增，故A错； ∵f（x）=﹣|x+1|，∴f（﹣x）=﹣|﹣x+1|≠﹣f（x），∴f（x）=﹣|x+1|不是奇函数，∴故B错； ，且a+1≠0， ∵a＞1时，y=a在[﹣1，1]上单调递增，y=a[﹣1，1]上单调递减，∴f（x）=x﹣x在[﹣1，1]上单调递增，故C错； 故选：D． 点评： 本题综合考查了函数的奇偶性与单调性，本选择题要直接利用函数奇偶性的性质对选项逐一检验的方法，本类题是函数这一部分的常见好题． 15．（2007?江苏）设f（x）=lg（
+a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是（ ）
A．（﹣1，0） B． （0，1） C． （﹣∞，0） D． （﹣∞，0）∪（1，+∞） 考点： 奇函数；对数函数的单调性与特殊点． 分析： 首先由奇函数定义，得到f（x）的解析式的关系式（本题可利用特殊值f（0）=0），求出a， 10